[论文解读] Identifying the Topology of Undirected Networks from Diffused Non-stationary Graph Signals

Rasoul Shafipour, Santiago Segarra+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2018

Advanced Graph Neural Networks被引用 12

一句话总结

本文提出了一种新颖方法，通过识别底层扩散滤波器的系统识别来从非平稳扩散图信号中推断无向图的拓扑结构，即通过识别图移位算子（GSO）。该方法利用已知的输入信号统计特性并利用多项式滤波结构，即使在任意输入相关性下，也能唯一恢复图的特征向量和特征值，并为线性和二次输入模型提供了理论可辨识性与实用算法。

ABSTRACT

We address the problem of inferring an undirected graph from nodal observations, which are modeled as non-stationary graph signals generated by local diffusion dynamics that depend on the structure of the unknown network. Using the so-called graph-shift operator (GSO), which is a matrix representation of the graph, we first identify the eigenvectors of the shift matrix from realizations of the diffused signals, and then estimate the eigenvalues by imposing desirable properties on the graph to be recovered. Different from the stationary setting where the eigenvectors can be obtained directly from the covariance matrix of the observations, here we need to estimate first the unknown diffusion (graph) filter -- a polynomial in the GSO that preserves the sought eigenbasis. To carry out this initial system identification step, we exploit different sources of information on the arbitrarily-correlated input signal driving the diffusion on the graph. We first explore the simpler case where the observations, the input information, and the unknown graph filter are linearly related. We then address the case where the relation is given by a system of matrix quadratic equations, which arises in pragmatic scenarios where only the second-order statistics of the inputs are available. While such quadratic filter identification problem boils down to a non-convex fourth-order polynomial minimization, we discuss identifiability conditions, propose algorithms to approximate the solution and analyze their performance. Numerical tests illustrate the effectiveness of the proposed topology inference algorithms in recovering brain, social, financial and urban transportation networks using synthetic and real-world signals.

研究动机与目标

• 解决从通过局部扩散动力学生成的非平稳图信号中推断无向图结构的挑战。
• 在输入信号协方差为任意形式（而非白噪声）的情况下，恢复图移位算子（GSO），这与平稳信号模型中输入为白噪声的情况不同。
• 利用扩散信号观测结果和输入信号统计特性，识别未知GSO的特征向量和特征值。
• 为线性和二次输入信号关系模型开发图拓扑推断算法，并提供理论可辨识性保证。

提出的方法

• 使用基于GSO的多项式滤波模型来表示扩散过程，其中输出信号是通过未知GSO的矩阵多项式对输入信号进行线性变换得到的。
• 采用基于张量的PARAFAC分解方法，对输出信号的三阶累积量张量进行分解，以估计GSO的特征向量，同时利用已知的输入协方差结构。
• 通过在恢复的滤波矩阵上施加对称性约束，解决特征向量估计中的符号模糊性问题，从而确保GSO可唯一识别（至多符号置换）。
• 在仅能获得二阶输入统计量的情况下，将问题建模为二元二次规划（BQP）问题，该问题由一组矩阵二次方程导出。
• 应用半定松弛方法近似求解非凸BQP问题，实现实际应用并提供性能分析。
• 基于输入和输出信号协方差的Kruskal秩与谱特性，提出可辨识性条件，以确保GSO的唯一恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 当输入信号协方差为任意形式（非白噪声）时，能否从非平稳扩散信号中唯一识别图移位算子（GSO）？
• RQ2 在未知图结构的前提下，如何从未知的扩散信号观测中估计未知GSO的特征向量？
• RQ3 当仅能获得输入信号的二阶统计量时，恢复GSO的可辨识性条件是什么？
• RQ4 能否高效求解建模输入-输出关系的矩阵二次方程组，以恢复图滤波器并进而恢复图拓扑？
• RQ5 所提出的算法在恢复真实世界网络拓扑（如脑功能连接、社交网络、金融时间序列和城市交通网络）方面的表现如何？

主要发现

• 通过利用输出信号三阶累积量张量的结构和已知的输入协方差，该方法能够唯一恢复未知GSO的特征向量。
• 通过在恢复的滤波矩阵上施加对称性约束，解决了特征向量估计中的符号模糊性问题，确保GSO可唯一识别（至多符号置换）。
• 对于二次输入模型，问题可简化为二元二次规划（BQP）问题，通过半定松弛方法近似求解，并具有理论收敛保证。
• 在合成网络和真实世界网络（包括脑功能连接、社交网络、金融时间序列和城市移动性数据）的数值实验中，该方法实现了准确的拓扑恢复。
• 在较弱条件下可保证可辨识性：输入协方差的Kruskal秩至少为2，且滤波矩阵可逆且对称。
• 在非平稳场景下，该方法优于基于平稳信号的方法，因为它显式考虑了现实应用中常见的相关输入信号。