[论文解读] Identities among relations for higher-dimensional rewriting systems

Yves Guiraud, Philippe Malbos|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2009

Logic, programming, and type systems参考文献 17被引用 10

一句话总结

本文通过多图（polygraphs）和轨道n-范畴（track n-categories）将群论中的关系恒等式推广至高维重写系统。它引入了n-范畴中关系恒等式的自然系统，证明了有限推导类型蕴含该系统的有限生成性，并表明收敛多图中的临界对通过收敛图生成该系统。

ABSTRACT

We generalize the notion of identities among relations, well known for presentations of groups, to presentations of n-categories by polygraphs. To each polygraph, we associate a track n-category, generalizing the notion of crossed module for groups, in order to define the natural system of identities among relations. We relate the facts that this natural system is finitely generated and that the polygraph has finite derivation type.

研究动机与目标

• 将经典的关系恒等式概念——最初针对群表述——推广至n-范畴等高维代数结构。
• 通过多图为n-范畴的表述定义一个自然的关系恒等式系统，将交叉模的概念推广至高维。
• 建立该自然系统有限生成性与底层多图有限推导类型之间的联系。
• 证明收敛多图的生成收敛图构成关系恒等式系统的生成集。
• 从轨道n-范畴的同伦基出发，为关系恒等式提供同伦与代数解释。

提出的方法

• 从n-多图Σ构造自由轨道n-范畴Σ^top，其为在群胚中加权的自由(n−1)-范畴。
• 定义阿贝尔化轨道n-范畴Σ^top_ab，并利用它为所呈现的n-范畴关联一个自然的关系恒等式系统Π(Σ)。
• 应用Baues与Jibladze的结果，将Π(Σ)表征为唯一满足其关联群胚同构于Aut^Σ的阿贝尔自然系统。
• 利用收敛多图中临界对产生的收敛图来定义生成收敛图，并证明其生成Π(Σ)。
• 通过关系恒等式的同伦解释，建立轨道n-范畴Σ^top的同伦基与Π(Σ)的生成集之间的对应关系。
• 利用临界对分析与收敛结构，证明若多图具有有限推导类型，则自然系统Π(Σ)是有限生成的。

实验结果

研究问题

• RQ1 群论中经典的关系恒等式概念如何推广至高维重写系统？
• RQ2 在通过多图表述的n-范畴中，何种范畴结构——特别是何种自然系统——能捕捉关系恒等式？
• RQ3 在何种条件下，关系恒等式系统是有限生成的？
• RQ4 收敛多图中的收敛图与临界对如何与关系恒等式系统的生成元相关联？
• RQ5 轨道n-范畴的同伦基与关系恒等式生成集之间存在何种关系？

主要发现

• 关系恒等式的自然系统Π(Σ)被定义为阿贝尔化轨道n-范畴Σ^top_ab所关联的阿贝尔自然系统。
• 当且仅当n-多图Σ具有有限推导类型时，系统Π(Σ)是有限生成的。
• 收敛多图的生成收敛图构成Π(Σ)的生成集，即每个此类收敛图对应于该系统的一个生成元。
• Π(Σ)通过轨道n-范畴Σ^top的同伦基显式描述，将代数结构与同伦结构联系起来。
• 在单生成元自由阿贝尔群的表述示例中，Π(Σ)由单个元素生成：⌊a₂a₂⁻⌋。
• Π(Σ)的结构受交换关系与某些项的消失（例如⌊a₁⌋ = 0）支配，这在特定情况下使系统简化为单个生成元。