[论文解读] Identities and relations related to the numbers of special words derived from special series with Dirichlet convolution

İrem Küçükoğlu, Yılmaz Şimşek|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2018

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 16被引用 2

一句话总结

本文引入了新的数论函数，包括项链多项式和Lyndon词计数，利用狄利克雷卷积推导出涉及狄利克雷级数、拉马努金级数和zeta函数的恒等式。主要成果包括将这些函数与伯努利数和阿波斯托尔-伯努利数显式关联的公式，以及与爱森斯坦级数傅里叶展开的联系，从而在数论和特殊函数中建立了新的解析关系。

ABSTRACT

The aim of this paper is to define some new number-theoretic functions including necklaces polynomials and the numbers of special words such as Lyndon words. By using Dirichlet convolution formula with well-known number-theoretic functions, we derive some new identities and relations associated with Dirichlet series, Lambert series, and also the family of zeta functions including the Riemann zeta functions and polylogarithm functions. By using analytic (meromorphic) continuation of zeta functions, we also derive identities and formulas including Bernoulli numbers and Apostol-Bernoulli numbers. Moreover, we give relations between number-theoretic functions and the Fourier expansion of the Eisenstein series. Finally, we give some observations and remarks on these functions.

研究动机与目标

• 通过组合数论定义新的数论函数，如项链多项式和Lyndon词计数。
• 推导狄利克雷卷积与狄利克雷级数、拉马努金级数及zeta函数之间联系的新恒等式。
• 探索zeta函数的解析延拓，以将其与伯努利数和阿波斯托尔-伯努利数关联。
• 建立数论函数与爱森斯坦级数傅里叶展开之间的联系。
• 提供将特殊词计数与多对数函数和zeta函数等特殊函数显式关联的公式。

提出的方法

• 使用数论函数定义项链多项式 $ N_k(n) = \frac{1}{n} \sum_{d|n} \phi(n/d) k^d $ 和Lyndon词计数 $ L_k(n) = \frac{1}{n} \sum_{d|n} \mu(n/d) k^d $。
• 应用狄利克雷卷积 $ (f * g)(n) = \sum_{d|n} f(d)g(n/d) $ 关联生成函数并推导级数恒等式。
• 利用狄利克雷级数 $ F(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s} $ 和拉马努金级数 $ \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{x^n - 1} $ 推导函数关系。
• 通过zeta函数的解析延拓将恒等式扩展至负整数，并与伯努利数关联。
• 将爱森斯坦级数 $ G(z,k,r,h) $ 的傅里叶展开与包含 $ L_k(n) $ 的拉马努金级数关联，得到模形式类型的恒等式。
• 通过级数分解与卷积推导新的zeta型函数 $ \zeta_2(x:k,s) $、$ \zeta_{2,\text{odd}}(x:k,s) $ 和 $ \zeta_{1,\text{even}}(x:k,s) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用狄利克雷卷积生成新恒等式，将项链和Lyndon词计数与zeta函数及拉马努金级数关联？
• RQ2 从Lyndon词计数导出的zeta型函数的解析延拓是什么？它们如何与伯努利数和阿波斯托尔-伯努利数关联？
• RQ3 爱森斯坦级数的傅里叶展开与包含Lyndon词计数的拉马努金级数之间存在何种联系？
• RQ4 新zeta函数 $ \zeta_2(x:k,s) $、$ \zeta_{2,\text{odd}}(x:k,s) $ 和 $ \zeta_{1,\text{even}}(x:k,s) $ 如何分解？它们与已知特殊函数有何关系？
• RQ5 能否通过狄利克雷卷积与级数变换，系统地将特殊词的生成函数与模形式和L函数关联？

主要发现

• 本文推导出恒等式 $ \zeta_2(x:k,-m) = -\frac{B_m B_{m+1}(kx)}{m B_{m+1}} $，将负zeta值与伯努利多项式及伯努利数关联。
• 建立了恒等式 $ 2^s \zeta(s) \zeta_{2,\text{odd}}(x:k,s) = (2^s - 1) \zeta(s-1) \left( \text{Li}_s(kx) - \frac{1}{2^s} \text{Li}_s(k^2 x^2) \right) $，将奇数索引zeta函数与多对数函数关联。
• 恒等式 $ \zeta_{2,\text{even}}(x:k,s) = \zeta_2(x:k,s) - \zeta_{2,\text{odd}}(x:k,s) $ 实现了完整zeta函数向偶数部分与奇数部分的分解。
• 本文证明了 $ \zeta_1,\text{even}(x:k,-m) = \frac{2^m B_m \left( B_{m+1}(kx) - (2^m - 1) B_{m+1}(k^2 x^2) \right)}{m B_{m+1}} $，为偶数索引值提供了闭式表达。
• 建立了拉马努金级数 $ H(n, e^{2\pi i z}) $ 与爱森斯坦级数之间的联系：$ H(n, e^{2\pi i z}) = \sum_{d|n} \mu(n/d) \frac{d!}{2(-2\pi i)^{d+1}} \left( G(z,d+1,0,h) - 2Z(d+1,h) \right) $。
• 对于素数 $ p $，本文推导出 $ H(p, e^{2\pi i z}) = \frac{p!}{2(-2\pi i)^{p+1}} \left( G(z,p+1,0,h) - 2Z(p+1,h) \right) + \frac{G(z,2,0,h) - 2Z(2,h)}{8\pi^2} $，将素数Lyndon词计数与模形式关联。