[论文解读] If Archimedes would have known functions

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2014

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文提出了一种图上的离散微积分，将函数、导数和积分视为连续微积分的组合类比。通过将导数建模为差分算子，积分建模为路径上的求和，建立了离散基本微积分定理，并通过微分形式和狄拉克算子将该框架扩展到多变量情形，表明量子力学和波动方程自然地从图论结构中涌现出来。

ABSTRACT

These are notes and slides from a Pecha-Kucha talk given on March 6, 2013. The presentation tinkered with the question whether calculus on graphs could have emerged by the time of Archimedes, if the concept of a function would have been available 2300 years ago. The text first attempts to boil down discrete single and multivariable calculus to one page each, then presents the slides with additional remarks and finally includes 40 "calculus problems" in a discrete or so-called 'quantum calculus' setting. We also added some sample Mathematica code, gave a short overview over the emergence of the function concept in calculus and included comments on the development of calculus textbooks over time.

研究动机与目标

• 探讨若在阿基米德时代已有函数、图论和矩阵代数，图上的微积分是否可能被提出。
• 使用图上的离散算子重新表述单变量和多变量微积分，将函数视为定义在顶点和边上。
• 通过差分和求和算子建立离散基本定理的类比。
• 将该框架扩展至高阶形式、外微分几何和图上的微分方程。
• 证明诸如薛定谔方程和波动方程等核心概念可自然地从图上的离散路径积分和矩阵算子中导出。

提出的方法

• 将导数定义为差分算子 $ Df(x) = f(x+1) - f(x) $，积分定义为累积和 $ Sf(x) = \sum_{k=0}^{x-1} f(k) $，且 $ Sf(0) = 0 $。
• 使用平移算子 $ s $ 和 $ s^* $ 表达 $ Df = [s, f] $，从而实现对离散导数的代数操作。
• 引入单项式 $ [x]^n = X^n x $，并证明 $ D[x]^n = n[x]^{n-1} $，其形式与连续微积分中的幂法则一致。
• 通过 $ \exp(a\cdot x) = (1+a)^x $ 定义指数、三角和对数函数，并推导其离散导数和恒等式。
• 通过在图 $ G $ 的单纯复形上定义 $ k $-形式，将框架扩展至多变量微积分，引入外微分 $ d $，并在子图上定义积分。
• 使用狄拉克算子 $ D = d + d^* $ 和形式拉普拉斯算子 $ L = dd^* + d^*d $，通过路径积分解来建模薛定谔方程和波动方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 若阿基米德时代已有函数、图论和矩阵代数，能否发展出基于这些概念的离散微积分？
• RQ2 在整数上使用差分和求和算子，离散微积分中的基本定理应如何重新表述？
• RQ3 在基于图的微积分中，指数、三角和对数函数的离散类比是什么？
• RQ4 如何从图上离散微分形式中推导出多变量微积分，包括斯托克斯定理和高斯定理？
• RQ5 量子和波动方程能否被解释为图上的离散路径积分？它们是否可通过矩阵指数退化为经典解？

主要发现

• 离散基本微积分定理成立：$ DSf(x) = f(x) $ 且 $ SDf(x) = f(x) - f(0) $，验证了差分与求和算子之间的对偶性。
• 单项式 $ [x]^n $ 满足 $ D[x]^n = n[x]^{n-1} $，与连续微积分中的幂法则一致。
• 离散指数 $ \exp(a\cdot x) = (1+a)^x $ 满足 $ D\exp(a\cdot x) = a\exp(a\cdot x) $，并通过 $ \exp(ia\cdot x) $ 定义离散正弦和余弦函数。
• 薛定谔方程 $ f' = iDf $ 的解为 $ f(t) = e^{itD}f(0) $，该解可表示为所有长度为 $ n $ 的路径上的求和，推广了费曼-卡茨公式。
• 波动方程 $ f'' = -Lf $ 的解为 $ f(t) = \cos(Dt)f(0) + \sin(Dt)D^{-1}f'(0) $，表明解通过矩阵指数传播。
• 离散斯托克斯定理和高斯定理成立：对于图上定义的曲面和立体，分别有 $ \int_S dF = \int_{\partial S} F $ 和 $ \int_H dF = \int_{\partial H} F $。