[论文解读] Ill-posedness for nonlinear Schrodinger and wave equations

Michael Christ, J. Colliander+1 more|ArXiv.org|Nov 4, 2003

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 17被引用 116

一句话总结

该论文在 Sobolev 空间 $H^s$ 中建立了非线性薛定谔方程和波动方程的不适定性，当正则性 $s$ 低于由尺度不变性或伽利略不变性预测的临界阈值时。通过零色散极限逼近法，并构造具有均值为零、高频结构的特定振荡初值，作者展示了范数膨胀以及解映射的连续性失效，从而证明了当 $s < s_c$ 或在无孤立子或爆破解的聚焦情形下 $s < 0$ 时的不适定性。

ABSTRACT

The nonlinear wave and Schrodinger equations on Euclidean space of any dimension, with general power nonlinearity and with both the focusing and defocusing signs, are proved to be ill-posed in the Sobolev space of index s whenever the exponent s is lower than that predicted by scaling or Galilean invariances, or when the regularity is too low to support distributional solutions. This extends previous work of the authors, which treated the one-dimensional cubic nonlinear Schrodinger equation. In the defocusing case soliton or blowup examples are unavailable, and a proof of ill-posedness requires the construction of other solutions. In earlier work this was achieved using certain long-time asymptotic behavior which occurs only for low power nonlinearities. Here we analyze instead a class of solutions for which the zero-dispersion limit provides a good approximation.

研究动机与目标

• 在正则性 $s$ 低于尺度临界阈值 $s_c = \frac{d}{2} - \frac{2}{p-1}$ 或低于 $s=0$ 时，建立广义非线性薛定谔方程（gNLS）和非线性波动方程（gNLW）在 Sobolev 空间 $H^s$ 中的不适定性。
• 在聚焦情形下，由于孤立子或爆破解不可用，通过构造替代解来展示范数膨胀，以处理无聚焦情形。
• 通过基于零色散极限的新方法，将先前对立方一维 NLS 的不适定性结果推广至一般幂次非线性和高维情形。
• 展示解映射的连续性失效，表明即使当 $s_c \geq 0$ 时，$H^s$ 中的柯西问题在 $s < s_c$ 或 $s < 0$ 时也是不适定的。

提出的方法

• 构造初值 $u_0(x) = \delta \phi(Nx)\psi(x)$，其中 $\phi$ 是周期函数、均值为零且高频，$\delta \ll 1$，$N \gg 1$，$\psi$ 为光滑截断函数。
• 利用零色散极限近似非线性方程的解，利用线性化系统在此极限下行为类似输运方程的特性。
• 通过杜哈梅尔公式分析解的迭代，表明由于非线性与振荡结构的相互作用，第一阶非线性修正 $u^{(1)}$ 在 $t=1$ 处表现出非零贡献。
• 估计解在高频处的傅里叶变换的 $L^2$-范数，显示 $\|\widehat{u^{(1)}}(1)\|_{L^2(B_a^A)} \gtrsim \delta^{2p}$，而线性部分为 $O(\delta N^{-1})$，当 $N$ 足够大时导致范数膨胀。
• 利用有限传播速度和初值的乘积结构，将一维结果推广至高维 $d \geq 2$，同时保持范数膨胀行为。
• 应用局部适定性理论，通过第一阶迭代近似真实解，确保在初值小扰动下范数膨胀仍持续存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $s < s_c$ 或 $s < 0$ 时，非线性薛定谔方程在 $H^s$ 中是否仍不满足局部适定性，即使在无聚焦情形下？
• RQ2 当孤立子或爆破解不存在时，能否通过替代解构造方法在无聚焦情形下建立不适定性？
• RQ3 当标准解不可用时，零色散极限是否可作为证明非线性色散方程不适定性的可行方法？
• RQ4 具有均值为零、高频结构的振荡初值在生成 $s < s_c$ 时的范数膨胀中起什么作用？
• RQ5 解映射的连续性失效在高频处的 $L^2$-范数膨胀中如何体现？

主要发现

• 对于广义非线性薛定谔方程，当 $s < s_c = \frac{d}{2} - \frac{2}{p-1}$ 或 $s < 0$ 时，$H^s$ 中的不适定性成立，即使在无聚焦情形下亦然。
• 对于广义非线性波动方程，当 $s < \max(s_c, s_{\text{conf}})$ 时发生不适定性，其中 $s_{\text{conf}} = \frac{d+1}{4} - \frac{1}{p-1}$，在相同的正则性约束下成立。
• 范数膨胀发生：对于初值大小满足 $\|u_0\|_{H^s} \lesssim \delta N^s$ 的情形，解在时间 $t=1$ 满足 $\|u(1)\|_{H^s} \gtrsim \delta^{2p}$，当 $p > 1$ 且 $\delta \to 0$、$N \to \infty$ 时，解的大小相对于初值大小发生爆炸。
• 当 $s < s_c$ 或 $s < 0$ 时，解映射在 $H^s$ 中不满足一致连续性，因为非线性修正 $u^{(1)}$ 以 $\delta^p$ 增长，而线性部分以 $\delta N^{-1}$ 衰减，因此当 $N \to \infty$ 时比值发散。
• 基于零色散极限和具有均值为零结构的振荡初值的方法，为在非线性色散方程中证明不适定性提供了一个通用框架，即使缺乏孤立子或爆破解亦可适用。
• 通过有限传播速度和形式为 $\eta(x')f(x_d)$ 的乘积初值（其中 $f$ 选择为在 $\mathbb{R}^1$ 中诱导范数膨胀），该结果可推广至高维 $d \geq 2$。