[论文解读] Ill-posedness for the Navier-Stokes equations in critical Besov spaces $\dot B^{-1}_{\infty,q}$

Baoxiang Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文通过证明在原点处解映射对任意小初值不连续，确立了在临界 Besov 空间 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$（$1 \leq q \leq 2$）中不可压缩 Navier-Stokes 方程的不适定性。尽管在更大的空间 $BMO^{-1}$ 中存在全局适定性，解在 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 中仍可能表现出不受控制的增长，揭示了该临界尺度不变空间中的根本不稳定性。

ABSTRACT

We study the Cauchy problem for the incompressible Navier-Stokes equation \begin{align} u_t -Δu+u\cdot abla u + abla p=0, \ \ { m div} u=0, \ \ u(0,x)= δu_0. \label{NS} \end{align} For arbitrarily small $δ>0$, we show that the solution map $δu_0 o u$ in critical Besov spaces $\dot B^{-1}_{\infty,q}$ ($\forall \ q\in [1,2]$) is discontinuous at origin. It is known that the Navier-Stokes equation is globally well-posed for small data in $BMO^{-1}$. Taking notice of the embedding $\dot B^{-1}_{\infty,q} \subset BMO^{-1}$ ($q\le 2$), we see that for sufficiently small $δ>0$, $u_0\in \dot B^{-1}_{\infty,q} $ ($q\le 2$) can guarantee that the Navier-Stokes equation has a unique global solution in $BMO^{-1}$, however, this solution is instable in $ \dot B^{-1}_{\infty,q} $ and the solution can have an inflation in $\dot B^{-1}_{\infty,q}$ for certain initial data. So, our result indicates that two different topological structures in the same space may determine the well and ill posedness, respectively.

研究动机与目标

• 研究不可压缩 Navier-Stokes 方程在临界 Besov 空间 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$（$1 \leq q \leq 2$）中的适定性。
• 解决在 $BMO^{-1}$ 中全局适定性是否意味着在更小的空间 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 中稳定性的开放问题。
• 证明解映射 $\delta u_0 \to u$ 在 $\delta = 0$ 处关于 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 不连续，对小初值成立。
• 阐明同一方程在不同函数空间拓扑结构下导致适定性与不适定性的根本区别。

提出的方法

• 构造一族初值 $\delta u_0$ 属于 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$，满足 $\|u_0\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty,q}} \lesssim 1$，且对任意小的 $\delta > 0$ 成立。
• 利用 Navier-Stokes 方程的积分形式分析解 $u(\delta,t)$ 的演化：$u(t) = e^{t\Delta}u_0 + \int_0^t e^{(t-\tau)\Delta}\mathbb{P}\textrm{div}(u\otimes u)(\tau)d\tau$。
• 通过频率局部化与 Littlewood-Paley 分解，估计小时间 $t \leq 1/N$ 下 $\|u(\delta,t)\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty,q}}$ 的增长。
• 利用非线性项 $\partial_1 - \partial_2$ 作用于 $u_0 \otimes u_0$ 时，在 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 中生成一个增长为 $O(k^{1/q})$ 的分量，而在 $\dot{F}^{-1}_{\infty,q}$ 中保持较小。
• 比较 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 与 $BMO^{-1} = \dot{F}^{-1}_{\infty,2}$ 中的行为，表明在 $BMO^{-1}$ 中频率局部化分量不发生相长干涉，但在 Besov 空间中会发生。
• 利用嵌入关系 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q} \subset BMO^{-1}$ 及已知的 $BMO^{-1}$ 中全局适定性，将不稳定性隔离于更小的空间中。

实验结果

研究问题

• RQ1 Navier-Stokes 方程在临界 Besov 空间 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$（$1 \leq q \leq 2$）中解映射是否连续？
• RQ2 在 $BMO^{-1}$ 中的全局适定性能否保证在更小的空间 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 中的稳定性？
• RQ3 为何解在 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 中会不受控制地增长，尽管其在 $BMO^{-1}$ 中很小？
• RQ4 解的频率局部化分量在 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 与 $\dot{F}^{-1}_{\infty,q}$ 中的相互作用有何不同？
• RQ5 对小初值，解范数在 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 中的精确定量增长速率为何？

主要发现

• 对所有 $n \geq 2$ 和 $1 \leq q \leq 2$，解映射 $\delta u_0 \to u(\delta,t)$ 在 $\delta = 0$ 处关于 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}(\mathbb{R}^n)$ 不连续。
• 对任意 $N \gg 1$，存在初值 $u_0 \in \dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 满足 $\|u_0\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty,q}} \lesssim 1$，使得对所有 $t \leq 1/N$ 有 $\|u(\delta,t)\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty,q}} \geq (\log N)^{1/2q}$。
• 非线性项 $\partial_1 - \partial_2$ 作用于 $u_0 \otimes u_0$ 时，在 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 中贡献一个增长为 $O(k^{1/q})$ 的分量，这是导致不稳定性的原因。
• 相反，该相同项在 $t \leq 2^{-2k}$ 时在 $\dot{F}^{-1}_{\infty,q}$ 中有界于 $O(\varepsilon)$，表明解在 $BMO^{-1}$ 中保持较小。
• 结果表明，同一函数空间中两种不同的拓扑结构可导致一个空间适定而另一个不适定，凸显了 Navier-Stokes 系统对范数选择的敏感性。
• 该不稳定性对所有 $q \in [1, \infty)$ 均持续存在，尽管本文仅显式证明了 $q \in [1,2]$ 的情形，并指出结果可推广至 $q > 2$。