[论文解读] Ill-posedness of the incompressible Euler equations in the $C^1$ space

Gerard Misiołek, Tsuyoshi Yoneda|arXiv (Cornell University)|May 8, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文通过构造一列属于 $W^{1,p}$ 的初始涡量数据（$2 < p < \infty$），证明了二维不可压缩欧拉方程在 $C^1$ 空间中局部不适定。利用拉格朗日形变技术，并与凯托-蓬斯在 $W^{1,p}$ 空间中的适定性结果产生矛盾，作者表明在 $C^1$ 空间中，数据到解的映射不可能连续，从而确立了该经典正则性类中的不适定性。

ABSTRACT

We prove that the 2D Euler equations are not locally well-posed in $C^1$. Our approach relies on the technique of Lagrangian deformations and norm inflation of Bourgain and Li. We show that the assumption that the data-to-solution map is continuous in $C^1$ leads to a contradiction with a well-posedness result in $W^{1,p}$ of Kato and Ponce.

研究动机与目标

• 为解决二维不可压缩欧拉方程在经典 $C^1$ 空间中局部适定性的开放问题。
• 证明在 $C^1$ 空间中，数据到解的映射不连续，从而表明该空间中存在不适定性。
• 将范数膨胀与拉格朗日形变技术的框架扩展至此前未解决的 $C^1$ 端点正则性空间。
• 在假设 $C^1$ 适定性的前提下，与凯托-蓬斯在 $W^{1,p}$ 空间中的适定性结果产生矛盾。

提出的方法

• 构造一个紧支集的初始涡量 $\omega_0 \in C^\infty_c(\mathbb{R}^2)$，具有奇对称性且在原点处为停滞点，以在拉格朗日流中诱导大的形变梯度。
• 定义 $\omega_0$ 的扰动 $\beta_n$，使得 $\omega_{0,n} = \omega_0 + \beta_n$ 属于 $W^{1,p}$（$2 < p < \infty$），并具有受控的振荡结构。
• 利用毕奥-萨伐尔定律恢复速度场 $u_n = \nabla^\perp \Delta^{-1} \omega_n$，并定义其对应的保体积流 $\eta_n(t)$。
• 应用比较引理 8，控制流 $\eta_n(t)$ 与 $\eta(t)$ 之间的差异，表明在数据到解映射于 $C^1$ 中连续的假设下，有 $\|D\eta_n - D\eta\|_{\infty} \to 0$。
• 通过流下的变量替换估计涡量 $\omega_n(t)$ 的 $W^{1,p}$ 范数，利用保体积微分同胚下 $L^p$ 范数的不变性。
• 利用引理 10 中的振荡估计，推导出 $\|d\beta_n(\nabla^\perp \eta_2(t_0))\|_{L^p}$ 的下界，表明其随 $n$ 增大而以 $M$ 的速度增长，而其他项则受 $\theta_n \to 0$ 控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 二维不可压缩欧拉方程的柯西问题在 $C^1$ 空间中是否局部适定？
• RQ2 即使初始数据光滑，欧拉方程的解在 $C^1$ 范数下是否可能发生范数膨胀？
• RQ3 在 $C^1$ 中数据到解映射的连续性是否与 $W^{1,p}$ 空间中已知的适定性结果矛盾？
• RQ4 拉格朗日形变技术能否扩展至证明端点正则性空间（如 $C^1$）中的不适定性？

主要发现

• 二维不可压缩欧拉方程在 $C^1(\mathbb{R}^2)$ 中是局部不适定的，因为数据到解的映射在此空间中不连续。
• 构造了一列初始涡量 $\omega_{0,n} \in W^{1,p}$，其对应的解在固定时间区间内表现出 $C^1$ 范数的范数膨胀。
• 假设 $C^1$ 连续性将导致与凯托-蓬斯结果的矛盾，后者保证了对 $s > 1 + 2/p$，有 $\|\omega(t)\|_{W^{s-1,p}}$ 的一致有界性。
• 扰动 $\beta_n$ 生成了涡量梯度的 $L^p$-范数贡献，其随 $n$ 增大而以 $M$ 的速度增长，而流之间的差异在 $C^1$-范数下趋于零。
• 该构造依赖于奇对称性与停滞点结构，以增强形变梯度，确保在 $C^1$ 半范数中出现强烈的范数膨胀。
• 该结果解决了关于 $C^1$ 空间在二维欧拉方程适定性中临界性的一个长期开放问题。