[论文解读] Illustrating a problem in the self-financing condition in two 2010-2011 papers on funding, collateral and discounting

Damiano Brigo, Cristin Buescu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2012

Credit Risk and Financial Regulations参考文献 12被引用 10

一句话总结

本文指出了两篇2010–2011年关于融资、抵押品和贴现的具有重要影响的论文中使用的自融资条件中的一个关键错误。它表明，有缺陷的条件错误地假设股权或子投资组合可独立于现金头寸实现自融资，并通过正确分解价格、收益和股息过程，提供了修正后的推导，证明当条件被正确表述时，原始定价结果依然有效。

ABSTRACT

We illustrate a problem in the self-financing condition used in the papers "Funding beyond discounting: collateral agreements and derivatives pricing" (Risk Magazine, February 2010) and "Partial Differential Equation Representations of Derivatives with Counterparty Risk and Funding Costs" (The Journal of Credit Risk, 2011). These papers state an erroneous self-financing condition. In the first paper, this is equivalent to assuming that the equity position is self-financing on its own and without including the cash position. In the second paper, this is equivalent to assuming that a subportfolio is self-financing on its own, rather than the whole portfolio. The error in the first paper is avoided when clearly distinguishing between price processes, dividend processes and gain processes. We present an outline of the derivation that yields the correct statement of the self-financing condition, clarifying the structure of the relevant funding accounts, and show that the final result in "Funding beyond discounting" is correct, even if the self-financing condition stated is not.

研究动机与目标

• 识别并纠正两篇2010–2011年广泛引用的关于融资、抵押品和贴现的论文中使用的自融资条件中的根本性错误。
• 阐明在涉及融资与抵押品的自融资策略背景下，价格过程、收益过程与股息过程之间的区别。
• 证明当自融资条件被正确表述时，目标论文中的原始定价结果依然有效。
• 纠正一种误解，即子投资组合或股权头寸可独立于完整投资组合（包括现金）实现自融资。
• 提供一个严谨的框架，通过正确核算投资组合动态的所有组成部分，来建模融资成本。

提出的方法

• 通过明确分离投资组合中每种资产的价格过程与股息过程，推导出正确的自融资条件。
• 正确应用随机Leibniz法则，避免先前工作中存在的错误，确保投资组合价值与收益动态之间的一致性。
• 使用恒等式 $ dG^{\Pi} = heta_1 dG_1 + heta_2 dG_2 + heta_3 dG_3 $，将投资组合的总收益过程表示为各资产收益的组合。
• 将融资账户 $ heta_3 = V^Y - C $ 重构为衍生品价值与抵押品的函数，确保其与自融资条件一致。
• 对衍生品价值 $ V^Y $ 应用Itô公式，并将所得动态与收益过程相等，推导出正确的PDE。
• 证明当自融资条件被正确应用时，[19]中原始的定价PDE可被重新推导出来，从而验证了结果的正确性，尽管其推导过程存在缺陷。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何2010–2011年论文中的自融资条件未能考虑完整投资组合动态，特别是现金与融资头寸？
• RQ2 为何错误地假设子投资组合可独立自融资，会导致融资成本建模的错误？
• RQ3 当同时存在融资、抵押品与股权时，自融资条件的正确数学表述是什么？
• RQ4 能否通过避免有缺陷的自融资条件，使用严谨推导重新获得《超越贴现的融资》中的原始定价结果？
• RQ5 股息过程在区分自融资策略中价格、收益与价值动态方面起什么作用？

主要发现

• 2010–2011年论文中的自融资条件错误地假设股权头寸或子投资组合可独立于现金或融资头寸实现自融资。
• 该错误源于对随机Leibniz法则的误用，导致投资组合收益过程的错误分解。
• 正确的自融资条件要求总收益过程 $ dG^{\Pi} $ 等于投资组合价值的变化 $ dV^{\Pi} $，而后者依赖于所有组成部分，包括融资账户。
• 尽管自融资条件存在缺陷，但《超越贴现的融资》中推导出的最终PDE是正确的，因为其可通过正确框架重新推导。
• 价格过程、收益过程与股息过程之间的区别对于准确建模融资成本至关重要，尤其是在抵押品与违约衍生品中。
• 融资账户 $ heta_3 = V^Y - C $ 必须从投资组合价值与抵押品中一致地推导出来，而不能被假设为可独立自融资。