[论文解读] Image measures of infinite product measures and generalized Bernoulli convolutions

Sergio Albeverio, Grygoriy Torbin|ArXiv.org|Aug 4, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文研究了无限乘积测度及其像测度的绝对连续性与奇异性的性质，重点关注由随机级数 $\psi = \sum \psi_k \lambda^k$ 和 $\varphi = \sum \varphi_k a_k$ 定义的广义伯努利卷积。通过测度保持映射与像测度理论，本文建立了精确的判别准则——基于涉及概率与衰减率的级数收敛性——以判断此类分布是否绝对连续、奇异或离散，将经典伯努利卷积结果推广至非同分布与非均匀缩放的设定。

ABSTRACT

We examine measure preserving mappings $f$ acting from a probability space $(Ω, F,μ) $ into a probability space $% (Ω^{*},F^{*},μ^{*}) ,$ where $μ^{*}=μ(f^{-1})$. Conditions on $f$, under which $f$ preserves the relations ''to be singular'' and ''to be absolutely continuous'' between measures defined on $(Ω, F) $ and corresponding image measures, are investigated. We apply the results to investigate the distribution of the random variable $% ξ=\sum\limits^{\infty}_{k=1} ξ_kλ^k,$ where $% λ\in (0;1),$ and $ξ_k$ are independent not necessarily identically distributed random variables taking the values $i$ with probabilities $% p_{ik}$ ,$i=0,1.$ We also studied in details the metric-topological and fractal properties of the distribution of a random variable $ψ= \sum\limits^{\infty}_{k=1} ξ_ka_k,$ where $a_k>0$ are terms of the convergent series.

研究动机与目标

• 分析广义伯努利卷积随机变量 $\varphi = \sum \varphi_k a_k$（其中 $\sum a_k$ 收敛）的分布的度量、分形与拓扑性质。
• 将经典无限伯努利卷积结果推广至非同分布与非对称情形。
• 建立关于 $p_{0k}, p_{1k}$ 与 $a_k$ 的级数收敛性条件，以确定 $\varphi$ 的分布绝对连续或奇异的必要与充分条件。
• 研究测度保持映射如何在非线性投影下保持测度之间的关系，特别是奇异性与绝对连续性。

提出的方法

• 采用像测度方法研究无限乘积测度的非线性投影，通过映射 $g(\omega) = \sum \omega_k a_k$ 从乘积空间 $\Omega = \prod \Omega_k$ 映射到实直线。
• 应用从 $ (\Omega, F, \mu) $ 到 $ (\Omega^*, F^*, \mu^*) $ 的测度保持映射 $f$，其中 $ \mu^* = \mu(f^{-1}) $，以分析测度类型（绝对连续、奇异、离散）的保持性。
• 运用莱维与杰森-温特纳定理，确立 $\varphi$ 分布的纯粹性，确保不存在混合类型。
• 通过乘积 $ \prod_{k=1}^\infty \left( \sqrt{\frac{1}{2}p_{0k}} + \sqrt{\frac{1}{2}p_{1k}} \right) $ 推导收敛性准则，该乘积收敛当且仅当 $ \sum (\frac{1}{2} - p_{0k})^2 < \infty $，从而与绝对连续性建立联系。
• 引入条件 $ a_k \geq \sum_{i=k+1}^\infty a_i $，以确保支撑集 $ S_\varphi $ 具有正勒贝格测度，并简化对支撑集间隙的分析。
• 利用双射映射 $ g $ 将 $ \Omega $ 上的乘积测度 $ \nu $ 与 $ \varphi $ 的分布 $ \nu^* = \nu(g^{-1}) $ 关联，实现从 $ \nu $ 到 $ \nu^* $ 的绝对连续性传递。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \varphi_k $ 为独立伯努利变量且概率为 $ p_{0k}, p_{1k} $ 的条件下，$ \varphi = \sum \varphi_k a_k $ 的分布在何种条件下关于勒贝格测度绝对连续？
• RQ2 当 $ \lambda \in (0,1) $ 时，$ \psi = \sum \psi_k \lambda^k $ 的分布何时为奇异或绝对连续，特别是针对非独立同分布的 $ \psi_k $？
• RQ3 测度保持映射如何在非线性投影下保持测度之间的关系，特别是奇异性与绝对连续性？
• RQ4 当 $ a_k \geq \sum_{i=k+1}^\infty a_i $ 时，$ a_k $ 的衰减速率在决定 $ \varphi $ 的支撑集的分形与度量性质方面起什么作用？
• RQ5 绝对连续性的判别准则能否在对称情形之外进一步强化或推广，特别是针对非均匀缩放的级数？

主要发现

• 当且仅当 $ \prod_{k=1}^\infty \max\{p_{0k}, p_{1k}\} > 0 $ 时，$ \varphi $ 的分布为纯离散分布，即当 0 和 1 的概率不趋于零时成立。
• 当且仅当 $ \sum_{k=1}^\infty (\delta_k - 1) < \infty $ 且 $ \sum_{k=1}^\infty (\frac{1}{2} - p_{0k})^2 < \infty $ 时，$ \varphi $ 的分布为绝对连续，其中 $ \delta_k = \max\{p_{0k}, p_{1k}\}^{-1} $。
• 当既不满足离散也不满足绝对连续条件时，$ \varphi $ 的分布为奇异分布，且由于杰森-温特纳定理保证了分布的纯粹性，该结论得以保证。
• 像测度 $ \nu^* = \nu(g^{-1}) $ 关于勒贝格测度绝对连续当且仅当乘积 $ \prod_{k=1}^\infty \left( \sqrt{\frac{1}{2}p_{0k}} + \sqrt{\frac{1}{2}p_{1k}} \right) $ 收敛，这等价于 $ \sum (\frac{1}{2} - p_{0k})^2 < \infty $。
• 当 $ a_k \geq \sum_{i=k+1}^\infty a_i $ 时，支撑集 $ S_\varphi $ 具有正勒贝格测度，且在像测度 $ \mu^* $ 下，分布均匀分布在 $ S_\varphi $ 上，从而可与勒贝格测度进行比较。
• 本文给出了对第3节提出问题的反例，表明某些关于映射的自然条件并不能保证测度类型关系的保持，凸显了像测度行为的微妙性。