[论文解读] Images directes et fonctions L en cohomologie rigide

Jean-Yves Étesse|ArXiv.org|Mar 11, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用 4

一句话总结

本文證明了在正特徵的完美域上，對於擬正規光滑的態射，伯塞洛特猜想中關於剛性上同調中高階直接像的過收斂性的部分成立。本文在可提升或相對完全交截態射的條件下，建立了對收斂與過收斂 F-等構體的直接像的收斂性，進而實現了相關 L-函數的有理性與亞純性分析，以及 p-進單位零點與極點的探討，特別是針對一般阿貝爾簇的情況。

ABSTRACT

Let $k$ be a perfect field of characteristic $p>0$, $\mathcal{V}$ a complete discrete valuation ring with residue field $k$ and field of fractions $K$ of characteristic 0, and $S$ a separated $k$-scheme of finite type. When $S$ is smooth over $k$, we partially prove here a conjecture of Berthelot about the overconvergence of the higher direct images of the structure sheaf under a proper smooth morphism $f:X o S$; when $k$ is perfect and $\mathcal{V}$ is tamely ramified such direct images are always convergent, not only for the structure sheaf but also for (almost) every convergent $F$-isocrystals. More generally, we prove this overconvergence when $f$ is liftable over $\mathcal{V}$, or when $X$ is a relative complete intersection in some projective spaces over $S$, and taking as coefficients any overconvergent isocrystals. We then apply these results to $L$-functions with coefficients such direct images with Frobenius structure: we derive rationality or meromorphy for these $L$-functions (Dwork's conjecture), and we study their $p$-adic unit zeroes and poles (Katz's conjecture) ; and explicit case concerns the ordinary abelian schemes. A more precise presentation of results by chapters is given in the introduction.

研究动机与目标

• 部分證明伯塞洛特關於在正特徵的完美域上，擬正規光滑態射的剛性上同調中高階直接像之過收斂性的猜想。
• 在特定幾何條件下，將過收斂性結果從結構層推廣至（幾乎全部的）收斂 F-等構體與任意過收斂等構體。
• 將這些上同調結果應用於研究係數在直接像中的 L-函數之有理性與亞純性，符合德沃克猜想。
• 分析此類 L-函數的 p-進單位零點與極點，對應卡茨猜想。
• 透過晶純與合成上同調工具，對普通阿貝爾簇與 p-可除群提供明確結果。

提出的方法

• 使用形式概形與在具有殘留域 k（特徵 p > 0）的完整離散賦值環 V 上的提升。
• 應用蒙斯كي-沃申尼茨代數，以及 (F)-晶純體與 (F)-等構體理論，連結代數上同調與剛性上同調。
• 運用合成上同調理論作為 étale 與剛性上同調之間的橋樑，特別適用於緊支撐上同調。
• 應用關於過收斂 F-等構體及其在基變換與剛性幾何中嚴格鄰域下的直接像之結果。
• 利用等構體上的弗羅貝尼烏斯結構定義並研究 L-函數，透過 zeta 函數與跡公式。
• 應用剛性、étale 與合成上同調之間的比較定理，推導出 L-函數的有理性與亞純性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特徵的完美域上，對擬正規光滑態射，其過收斂 F-等構體的高階直接像在何種條件下是過收斂的？
• RQ2 過收斂性是否可從結構層推廣至一般收斂與過收斂 F-等構體？
• RQ3 過收斂性對係數在這些直接像中的 L-函數之有理性與亞純性有何影響？
• RQ4 這些 L-函數的 p-進單位零點與極點行為如何，特別是在普通阿貝爾簇的情況下？
• RQ5 直接像上弗羅貝尼烏斯結構的滿射性在多大程度上確保了相關 L-函數的算術性質？

主要发现

• 對於 S 是特徵 p > 0 的完美域 k 上光滑的擬正規光滑態射 f: X → S，當 V 為可 tame 擺動時，結構層的高階直接像為過收斂。
• 當 f 可在 V 上提升，或 X 是 S 上射影空間中的相對完全交截時，過收斂性可推廣至（幾乎全部的）收斂 F-等構體與任意過收斂等構體。
• 係數在這些直接像中的 L-函數具有有理式或亞純式，確認了在這些情況下的德沃克猜想。
• 這些 L-函數的 p-進單位零點與極點受牛頓多邊形與弗羅貝尼烏斯作用控制，支持卡茨猜想。
• 對於普通阿貝爾簇，L-函數為亞純函數，其單位零點與極點可透過相關 p-可除群的晶純與合成上同調精確描述。
• 合成與 étale 上同調之間的比較同構，使算術性質可轉移到 L-函數層次，特別是在有限 étale 蓬蓋與單幂單值性的情況下。