[论文解读] Imaging of buried obstacles in a two-layered medium with phaseless far-field data

Long Li, Jiansheng Yang+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 55被引用 7

一句话总结

本文提出一种两阶段成像方法，仅利用无相位远场数据即可重建双层介质中的埋藏障碍物。该方法结合了基于两平面波叠加的直接成像方法，用于定位小异常体，随后采用递归牛顿型迭代算法以重建扩展障碍物，即使在k+ < k−的复杂情况下也能实现精确的定位与形状恢复。

ABSTRACT

The inverse problem we consider is to reconstruct the location and shape of buried obstacles in the lower half-space of an unbounded two-layered medium in two dimensions from phaseless far-field data. A main difficulty of this problem is that the translation invariance property of the modulus of the far field pattern is unavoidable, which is similar to the homogenous background medium case. Based on the idea of using superpositions of two plane waves with different directions as the incident fields, we first develop a direct imaging method to locate the position of small anomalies and give a theoretical analysis of the algorithm. Then a recursive Newton-type iteration algorithm in frequencies is proposed to reconstruct extended obstacles. Finally, numerical experiments are presented to illustrate the feasibility of our algorithms.

研究动机与目标

• 解决仅利用无相位远场数据对双层介质中埋藏障碍物进行定位与重建的逆散射问题。
• 通过使用两个不同方向的平面波叠加，克服无相位数据固有的平移不变性问题。
• 开发一种基于直接成像的方法用于小异常体的初步定位，以及一种递归牛顿型迭代算法用于扩展障碍物的精确形状重建。
• 通过不同波速对比（k+ > k− 与 k+ < k−）下的数值实验验证所提算法的有效性。

提出的方法

• 使用不同方向的两平面波叠加作为入射场，以打破无相位远场数据中的平移不变性。
• 基于叠加原理开发一种直接成像方法，通过在采样区域内最大化成像泛函来定位小异常体。
• 在频率域中应用递归牛顿型迭代算法以重建扩展障碍物，将直接成像结果作为初始猜测。
• 利用远场模式的渐近行为及界面处满足传输条件的Helmholtz方程，对双层介质中的散射进行建模。
• 通过在连续迭代中更新波数k+和k−实现多频续化，以提高分辨率。
• 在数值实验中采用参数化曲线表示法（如椭圆、苹果形、圆角三角形/正方形）定义测试障碍物。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于叠加平面波的直接成像方法能否有效利用无相位远场数据定位双层介质中埋藏的小障碍物？
• RQ2 当仅能获取无相位远场数据时，递归牛顿型迭代算法能否准确重建扩展障碍物的形状与位置？
• RQ3 波速对比度（k+ > k− 与 k+ < k−）如何影响所提算法的重建精度？
• RQ4 直接成像方法在多大程度上能为扩展障碍物的迭代重建提供可靠的初始猜测？
• RQ5 数值实验中在远场数据含4%噪声的情况下，所提方法是否对噪声具有鲁棒性？

主要发现

• 直接成像方法在真实障碍物位置附近成功定位到局部极大值，例如苹果形障碍物在(0.16, −3.69)处出现峰值。
• 当以直接成像结果作为初始猜测时，递归牛顿型迭代算法能高精度重建扩展障碍物的完整形状，如图4.4(c)与4.5(c)所示。
• 当k+ > k−时重建质量优于k+ < k−的情况，后者中障碍物下半部分重建精度较低。
• 对于多个障碍物（如椭圆、圆角三角形、圆角正方形），方法能准确重建上半部分与中心区域，但圆角正方形的下半部分精度稍低。
• 在4%噪声条件下方法仍具有效性，如示例4–7所示，表现出一致的定位与形状恢复能力。
• 该方法为在全相位数据不可用的双层介质中解决无相位逆散射问题提供了切实可行的解决方案。