[论文解读] Immersed disks, slicing numbers and concordance unknotting numbers

Brendan Owens, Sašo Strle|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用 12

一句话总结

本论文引入并计算了与四维球体内光滑浸入圆盘相关的三种扭结不变量：四维球交叉数、切片数和同痕消去数。利用Heegaard Floer同调以及分支双重覆盖和校正项的精细障碍，作者确定了所有10个或更少交叉点的素扭结的这些不变量，为双曲扭结之间的Gordian距离提供了新界，并对消去数为一的扭结给出了强化的障碍条件。

ABSTRACT

We study three knot invariants related to smoothly immersed disks in the four-ball. These are the four-ball crossing number, which is the minimal number of normal double points of such a disk bounded by a given knot; the slicing number, which is the minimal number of crossing changes to a slice knot; and the concordance unknotting number, which is the minimal unknotting number in a smooth concordance class. Using Heegaard Floer homology we obtain bounds that can be used to determine two of these invariants for all prime knots with crossing number ten or less, and to determine the concordance unknotting number for all but thirteen of these knots. As a further application we obtain some new bounds on Gordian distance between torus knots. We also give a strengthened version of Ozsvath and Szabo's obstruction to unknotting number one.

研究动机与目标

• 计算所有10个或更少交叉点的素扭结的四维球交叉数、切片数和同痕消去数。
• 利用Heegaard Floer校正项和分支双重覆盖开发新的障碍条件，以确定这些不变量。
• 通过带移动和交叉点变化分析，为双曲扭结之间的Gordian距离提供界。
• 通过校正项匹配条件，对消去数为一的扭结的现有障碍进行改进。
• 建立一个框架，通过Montesinos技巧和手术理论，将四维球体内浸入圆盘与同痕不变量及三维流形不变量联系起来。

提出的方法

• 应用Montesinos技巧，将消去和切片操作与扭结的分支双重覆盖上的半整数手术联系起来。
• 使用定理2.2，构造一个具有半整数手术交截形式的正定四维流形，其边界由具有给定数量双重点的扭结的分支双重覆盖所限定。
• 利用Ozsváth–Szabó校正项 $d(Y,\mathfrak{s})$，推导出关于具有指定双重点符号的浸入圆盘存在的可计算障碍。
• 引入“正偶子群匹配”概念，以检测当一个扭结无法以给定数量的双重点束缚浸入圆盘时的情形。
• 应用Levine–Tristram符号和亏格不变量，检测两个扭结之间同痕关系中每种符号的最小双重点数量。
• 通过带移动和同伦变换构造Gordian距离的上界，通过滑动带和简化过程追踪交叉点变化。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有10个或更少交叉点的素扭结的四维球交叉数 $c^*(K)$ 是多少？
• RQ2 所有10个或更少交叉点的素扭结的切片数 $u_s(K)$ 是多少？
• RQ3 所有9个或更少交叉点的素扭结以及绝大多数10交叉点素扭结的同痕消去数 $u_c(K)$ 是多少？
• RQ4 推论2中的校正项障碍能否检测出四维球交叉数为一的扭结？
• RQ5 通过带移动构造，将一个双曲扭结变换为另一个双曲扭结所需的最少交叉点变化数是多少？

主要发现

• 作者计算了所有10个或更少交叉点的素扭结的 $c^*(K)$ 和 $u_s(K)$。
• 所有9个或更少交叉点的素扭结以及所有10交叉点素扭结中除13个外的同痕消去数 $u_c(K)$ 均已确定。
• 对于符号为2且行列式为15的扭结，校正项障碍排除了存在一个正双重点和一个负双重点的浸入圆盘的可能性。
• 滑动带方法为双曲扭结 $T_{2a+1,4a+6}$ 与 $T_{2a+3,4a+2}$ 之间的Gordian距离提供了上界 $4a+1$，优于二次界。
• 推论2中的校正项障碍比以往结果提供了更强的条件，要求在子群上归一化的 $d$-不变量同时满足正性和偶性。
• 本文表明，在 $K_1 = 9_{42}$ 与 $K_2 = 9_{44}$ 之间的任何正常浸入同痕关系中，每种符号的双重点至少需要一个，且具有两个双重点的此类同痕关系受到校正项条件的阻碍。