[论文解读] Impact of a cost functional on the optimal control and the cost-effectiveness: control of a spreading infection as a case study

Fernando Saldaña, José Ariel Camacho-Gutíerrez+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2020

COVID-19 epidemiological studies参考文献 20被引用 6

一句话总结

本研究探讨了不同成本泛函形式——特别是对控制变量（L1、L2）和状态变量的基于幂次的依赖关系——对SIR和SEIRS流行病模型中最优控制策略的影响。结果表明，当干预成本较低时，最优控制对控制功率（n）的变化具有鲁棒性，但对状态相关成本结构极为敏感，后者主导了最终结果。

ABSTRACT

In applications of the optimal control theory to problems in medicine and biology, the dependency of the objective functional on the control itself is often a matter of controversy. In this paper, we explore the impact of the dependency using reasonably simple \emph{SIR} and \emph{SEIRS} epidemic models. To qualitatively compare the outcomes for different objective functionals, we apply the cost-effectiveness analysis. Our result shows that, at least for the comparatively inexpensive controls, the variation of the power at the controls in a biologically feasible range does not significantly affect the forms of the optimal controls and the corresponding optimal state solutions. Moreover, the costs and effectiveness are affected even less. At the same time, the dependency of the cost on the state variables can be very significant.

研究动机与目标

• 评估在不同成本泛函形式下，流行病模型中最优控制解的鲁棒性。
• 研究成本泛函的数学形式——特别是对控制变量（n ≠ 2）和状态变量的幂次依赖关系——对最优控制结构和有效性的影响。
• 评估在生物医学控制应用中使用L2型（二次型）与L1型（线性）成本泛函的实际意义。
• 通过成本效益分析，定量比较不同泛函形式的总成本与干预有效性，以确定哪种形式能产生更可靠且可推广的结果。
• 确定当控制变量的真实成本依赖关系不确定时，常用L2成本泛函是否可作为可靠代理。

提出的方法

• 针对SIR和SEIRS流行病模型，构建了四种不同成本泛函情景的最优控制问题：QSI（二次型，密度无关）、LSI（线性，密度无关）、QSD（二次型，密度相关）、LSD（线性，密度相关）。
• 应用庞特里亚金最大值原理，推导最优性的必要条件，将问题转化为两点边值问题。
• 通过数值模拟，比较所有四种情景下的最优控制轨迹与状态轨迹。
• 开展成本效益分析，定量比较不同泛函形式下的总成本与干预有效性。
• 改变控制成本项u^n中的幂次n（n=1表示L1，n=2表示L2），评估解对控制成本泛函形式的敏感性。
• 评估状态相关成本（如与感染人群密度成正比的成本）与仅与控制相关的成本之间的影响差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 在控制依赖成本项u^n中，幂次n如何影响流行病模型中最优控制的结构与行为？
• RQ2 密度无关与密度相关成本泛函如何影响最优控制策略与疾病动态？
• RQ3 最优控制解在多大程度上对成本泛函关于控制变量的形式变化具有鲁棒性？
• RQ4 状态相关成本结构对最优控制及整体成本效益的影响有多大？
• RQ5 当控制变量的真实成本依赖关系不确定或非二次型时，L2型成本泛函能否作为可靠近似？

主要发现

• 在SIR和SEIRS模型中，当成本为密度无关时，L1（线性）与L2（二次型）控制成本泛函下的最优控制与状态轨迹在定性上相似。
• 密度相关成本泛函（QSD与LSD）下的最优控制与解与密度无关情形存在显著差异，表明对状态相关成本具有强烈敏感性。
• 当干预成本较低（为潜在感染损失的10%）时，最优控制对控制成本项中幂次n的变化具有鲁棒性，对控制结构或有效性影响极小。
• 成本对状态变量的依赖性（如与感染人群密度成正比）对最优控制与成本效益的影响，远大于L1与L2控制成本形式之间的选择差异。
• 尽管最优控制轨迹对n的变化具有鲁棒性，但实际总成本可能因n=1或n=2而显著不同，即使采用相同的控制策略。
• 当真实控制成本依赖关系不确定时，只要干预成本相对于疾病负担较低，L2型泛函仍可作为现实世界疾病控制规划的有效且实用的起点。