[论文解读] Impermeability through a perforated domain for the incompressible 2D Euler equations

Christophe Lacave, Nader Masmoudi|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 31被引用 3

一句话总结

本文分析了在大小为 $\varepsilon$ 的小包含物穿孔的二维不可压缩欧拉方程的渐近行为，其中包含物间距为 $d_\varepsilon$。关键结果表明，流体的极限行为关键取决于比值 $d_\varepsilon / \varepsilon$（在一维分布中为 $d_\varepsilon / \varepsilon^{2+1/\gamma}$）：若该比值趋于无穷大，流体行为如同在完整平面上；若趋于零，则多孔介质表现为不可渗透壁，极限解在固体障碍物外部满足欧拉方程。

ABSTRACT

We study the asymptotic behavior of the motion of an ideal incompressible fluid in a perforated domain. The porous medium is composed of inclusions of size $\varepsilon$ separated by distances $d_\varepsilon$ and the fluid fills the exterior. If the inclusions are distributed on the unit square, the asymptotic behavior depends on the limit of $\frac{d_{\varepsilon}}\varepsilon$ when $\varepsilon$ goes to zero. If $\frac{d_{\varepsilon}}\varepsilon o \infty$, then the limit motion is not perturbed by the porous medium, namely we recover the Euler solution in the whole space. On the contrary, if $\frac{d_{\varepsilon}}\varepsilon o 0$, then the fluid cannot penetrate the porous region, namely the limit velocity verifies the Euler equations in the exterior of an impermeable square. If the inclusions are distributed on the unit segment then the behavior depends on the geometry of the inclusion: it is determined by the limit of $\frac{d_{\varepsilon}}{\varepsilon^{2+\frac1γ}}$ where $γ\in (0,\infty]$ is related to the geometry of the lateral boundaries of the obstacles. If $\frac{d_{\varepsilon}}{\varepsilon^{2+\frac1γ}} o \infty$, then the presence of holes is not felt at the limit, whereas an impermeable wall appears if this limit is zero. Therefore, for a distribution in one direction, the critical distance depends on the shape of the inclusions. In particular it is equal to $\varepsilon^3$ for balls.

研究动机与目标

• 理解在由小包含物穿孔的二维不可压缩欧拉方程的渐近行为。
• 确定在包含物尺寸 $\varepsilon \to 0$ 的极限下，多孔介质在何种条件下对流体流动表现为不可渗透。
• 表征流体行为如同域未穿孔与流体被有效固体边界阻挡之间的过渡。
• 识别决定多孔介质是否影响极限解的包含物间距 $d_\varepsilon$ 相对于 $\varepsilon$ 的临界尺度。
• 分析包含物几何形状（特别是侧向边界）在单一直线分布中对临界尺度的影响。

提出的方法

• 使用外于大小为 $\varepsilon$ 的小包含物的二维不可压缩欧拉方程建模流体运动。
• 考虑两种构型：在单位正方形中（二维）和在单位线段上（一维）分布包含物，间距为 $d_\varepsilon$。
• 通过研究二维中比值 $d_\varepsilon / \varepsilon$ 和一维中 $d_\varepsilon / \varepsilon^{2+1/\gamma}$ 的极限行为（其中 $\gamma$ 编码障碍物边界几何）来分析 $\varepsilon \to 0$ 的极限。
• 使用紧致性论证和弱收敛技术，将欧拉方程在穿孔域上的极限过程传递。
• 证明当临界比值趋于零时，极限速度场在固体障碍物外部满足欧拉方程。
• 证明当临界比值趋于无穷大时，极限解与全空间中的欧拉解一致，表明多孔介质无影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维区域中，当 $\varepsilon \to 0$ 时，多孔介质在何种条件下对流体在极限下表现为不可渗透？
• RQ2 包含物间距 $d_\varepsilon$ 相对于 $\varepsilon$ 的尺度如何决定流体是否能穿透多孔区域？
• RQ3 包含物的几何形状——特别是侧向边界形状——在单一直线分布中对不可渗透性的临界尺度有何影响？
• RQ4 极限解是否可被识别为全空间中的欧拉解，还是满足带有固体边界的修正方程？
• RQ5 区分多孔介质在极限下有效不可见与作为不可渗透壁的精确临界尺度 $d_\varepsilon$ 是什么？

主要发现

• 在二维正方形构型中，当 $d_\varepsilon / \varepsilon \to \infty$ 时，极限解与全平面上的欧拉解一致，表明多孔介质无影响。
• 在二维正方形构型中，当 $d_\varepsilon / \varepsilon \to 0$ 时，流体无法穿透多孔区域，极限速度满足不可渗透正方形外部的欧拉方程。
• 在一维线段构型中，当 $d_\varepsilon / \varepsilon^{2+1/\gamma} \to \infty$ 时，多孔介质表现为不可见；若该比值趋于零，则出现不可渗透壁。
• 对于一维中的球形包含物，临界尺度为 $\varepsilon^3$，即当 $d_\varepsilon \ll \varepsilon^3$ 时发生不可渗透。
• 不同区域之间的过渡对障碍物边界几何形状极为敏感，该几何由参数 $\gamma$ 编码。
• 极限行为通过速度场的弱收敛和紧致性论证表征，导致在不可渗透区域中极限被识别为带有固体边界的欧拉方程解。