[论文解读] Implementing Turing Machines in Dynamic Field Architectures

Peter beim Graben, Roland Potthast|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2012

Cellular Automata and Applications参考文献 34被引用 6

一句话总结

本文提出动态场自动机（DFAs）作为动态场理论中符号计算问题的解决方案，通过在单位正方形上具有矩形支撑的均匀概率密度函数（p.d.f.）的演化来表示图灵机的计算。利用弗罗贝尼乌斯-佩龙方程建模功能动力学，作者证明此类p.d.f.在非线性动力学自动机（NDA）动力学下保持不变，从而实现通过上下文涌现的宏观态进行符号计算，而无需依赖随机初始微观态。

ABSTRACT

Cognitive computation such as e.g. language processing, is conventionally regarded as Turing computation, and Turing machines can be uniquely implemented as nonlinear dynamical systems using generalized shifts and subsequent Gödel encoding of the symbolic repertoire. The resulting nonlinear dynamical automata (NDA) are piecewise affine-linear maps acting on the unit square that is partitioned into rectangular domains. Iterating a single point, i.e. a microstate, by the dynamics yields a trajectory of, in principle, infinitely many points scattered through phase space. Therefore, the NDAs microstate dynamics does not necessarily terminate in contrast to its counterpart, the symbolic dynamics obtained from the rectangular partition. In order to regain the proper symbolic interpretation, one has to prepare ensembles of randomly distributed microstates with rectangular supports. Only the resulting macrostate evolution corresponds then to the original Turing machine computation. However, the introduction of random initial conditions into a deterministic dynamics is not really satisfactory. As a possible solution for this problem we suggest a change of perspective. Instead of looking at point dynamics in phase space, we consider functional dynamics of probability distributions functions (p.d.f.s) over phase space. This is generally described by a Frobenius-Perron integral transformation that can be regarded as a neural field equation over the unit square as feature space of a dynamic field theory (DFT). Solving the Frobenius-Perron equation, yields that uniform p.d.f.s with rectangular support are mapped onto uniform p.d.f.s with rectangular support, again. Thus, the symbolically meaningful NDA macrostate dynamics becomes represented by iterated function dynamics in DFT; hence we call the resulting representation dynamic field automata.

研究动机与目标

• 解决非线性动力学自动机（NDAs）中的解释性问题，即在相空间中通过点动力学实现符号计算缺乏原则性终止机制，且需要任意的随机初始条件。
• 通过从微观态点动力学转向概率分布的宏观态功能动力学，将符号计算（图灵机）与动态场理论（DFT）统一起来。
• 建立一个数学上严谨的框架，使符号计算从具有矩形支撑的均匀p.d.f.在弗罗贝尼乌斯-佩龙算子作用下的演化中自然涌现。
• 证明只有具有矩形支撑的均匀p.d.f.能产生物理上和符号上具有意义的宏观态动力学，从而定义了涌现的条件性上下文。
• 为将符号计算整合到更广泛的动态场架构中，以支持语言处理或贝叶斯推理等认知任务，提供基础。

提出的方法

• 使用广义移位和哥德尔编码，将图灵机表示为非线性动力学自动机（NDA），将符号状态映射为单位正方形上的分段仿射线性映射。
• 使用弗罗贝尼乌斯-佩龙积分方程对相空间中概率密度函数（p.d.f.s）的演化进行建模，该方程描述了在确定性动力学下分布的时间演化。
• 聚焦于具有矩形支撑的均匀p.d.f.s作为符号宏观态的表示，以确保最大熵和可解释性。
• 证明弗罗贝尼乌斯-佩龙算子将具有矩形支撑的均匀p.d.f.s映射为其他具有矩形支撑的均匀p.d.f.s，从而在迭代过程中保持符号结构。
• 推导出时间离散化的阿马里方程（公式27）并采用特定核函数（公式28），以模拟支撑DFAs的神经场动力学，实现数值计算。
• 将所得的动态场自动机（DFA）作为功能动力系统，其中符号计算从宏观态的演化中涌现，而非从微观态中涌现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖任意初始条件的前提下，将图灵机中的符号计算一致地表示为连续的、状态和时间连续的动力系统？
• RQ2 能否从非线性动力学自动机相空间中概率分布的功能动力学中恢复图灵机的符号动力学？
• RQ3 在非线性动力学自动机中，哪一类概率密度函数在弗罗贝尼乌斯-佩龙演化下保持符号可解释性？
• RQ4 在动态场框架中，符号计算如何从概率分布的动力学中涌现？其涌现的条件是什么？
• RQ5 如何将动态场自动机扩展以支持并行符号计算，并集成到更大的认知架构中？

主要发现

• 弗罗贝尼乌斯-佩龙算子将具有矩形支撑的均匀概率密度函数映射为其他具有矩形支撑的均匀p.d.f.s，从而在迭代过程中保持符号结构。
• 该结果表明，图灵机中的符号计算可被一致地表示为动态场理论框架中宏观态的演化。
• 对具有矩形支撑的均匀p.d.f.s的限制，定义了符号计算涌现的条件性上下文，类似于统计力学中的热力学涌现。
• 所提出的动态场自动机（DFA）通过直接作用于宏观态分布，避免了对随机初始微观态的需求，从而解决了传统NDA实现中的关键解释性缺陷。
• 时间离散化的阿马里方程（公式27）配合核函数（公式28）提供了一个数值上可行且生物学上合理的DFA动力学模拟模型。
• 该框架为通过多模态或重叠支撑的p.d.f.s实现并行符号处理提供了潜在扩展路径，并可集成到更大的动态场架构中以支持认知任务。