[论文解读] Implication Zroupoids and Identities of Associative Type

Juan M. Cornejo, Hanamantagouda P. Sankappanavar|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文對長度為3的結合類型恆等式所定義的偽群（I-zroupoids）子簇進行了完整分類，證明恰好存在8個此類不同的子簇。此外，本文進一步表明，在對稱I-偽群中，僅有3個不同的子簇可由此類恆等式產生，並形成嚴格包含鏈：布林代數 ⊂ 帶最小元的半格 ⊂ 對稱I-偽群。

ABSTRACT

An algebra $\mathbf A = \langle A, o, 0 angle$, where $ o$ is binary and $0$ is a constant, is called an implication zroupoid ($\mathcal I$-zroupoid, for short) if $\mathbf A$ satisfies the identities: $(x o y) o z \approx [(z' o x) o (y o z)']'$ and $ 0'' \approx 0$, where $x' : = x o 0$, and $\mathcal I$ denotes the variety of all $\mathcal I$-zroupoids. An $\mathcal I$-zroupoid is symmetric if it satisfies $x'' \approx x$ and $(x o y')' \approx (y o x')'$. The variety of symmetric $\mathcal I$-zroupoids is denoted by $\mathcal S$. An identity $p \approx q$, in the groupoid language $\langle o angle$, is called an identity of associative type of length $3$ if $p$ and $q$ have exactly 3 (distinct) variables, say x,y,z, and are grouped according to one of the two ways of grouping: (1) $\star o (\star o \star)$ and (2) $(\star o \star) o \star$, where $\star$ is a place holder for a variable. A subvariety of $\mathcal I$ is said to be of associative type of length $3$, if it is defined, relative to $\mathcal I$, by a single identity of associative type of length $3$. In this paper we give a complete analysis of the mutual relationships of all subvarieties of $\mathcal I$ of associative type of length $3$. We prove, in our main theorem, that there are exactly 8 such subvarieties of $\mathcal I$ that are distinct from each other and describe explicitly the poset formed by them under inclusion. As an application of the main theorem, we derive that there are three distinct subvarieties of the variety $\mathcal S$, each defined, relative to $\mathcal S$, by a single identity of associative type of length $3$.

研究动机与目标

• 完整描述由長度為3的結合類型恆等式所定義的偽群（I-zroupoids）變量的全部子簇。
• 確定這些子簇之間的包含關係，並建立它們的相互結構。
• 分析這些恆等式在對稱I-偽群（S）子變量上的限制，識別出S內的獨特子簇。
• 釐清如(A1)、(A11)與(A14)等恆等式在定義這些子簇及其邏輯關係中的角色。
• 透過提供此特定類型恆等式之完整且明確的偏序集結構，解決I-偽群子簇格結構中的開放問題。

提出的方法

• 將偽群（I-zroupoids）定義為滿足以下兩個恆等式的代數結構 ⟨A, →, 0⟩：(I) (x→y)→z ≈ [(z′→x)→(y→z)′]′ 和 (I0) 0′′ ≈ 0，其中 x′ := x→0。
• 引入長度為3的結合類型恆等式概念：包含恰好三個不同變數、以 (x→y)→z 或 x→(y→z) 形式分組的恆等式，共形成14種可能的恆等式。
• 使用等式推理與格論技術，分析由這些恆等式所定義的子簇之間的包含關係。
• 應用主要定理（定理4.2）以分類所有14種長度為3的結合類型恆等式，證明它們恰好生成I的8個不同子簇。
• 將分析限制於對稱I-偽群（S），其定義為 x′′ ≈ x 和 (x→y′)′ ≈ (y→x′)′，並推導出由相同恆等式所誘導的S的子簇。
• 使用模型論論證與反例（例如4元素代數）來驗證嚴格包含與非包含關係，如 BA ⊈ S₁₄。

实验结果

研究问题

• RQ1 由單一長度為3的結合類型恆等式所定義的偽群子簇，總共有多少個不同的子簇？
• RQ2 這些子簇在偽群變量內的完整包含關係（偏序集）為何？
• RQ3 當限制於對稱偽群子變量時，這些子簇中有多少個是彼此不同的？
• RQ4 布林代數變量與由結合類型恆等式所定義的對稱偽群子簇之間的關係為何？
• RQ5 是否存在結合類型恆等式在I與S中均定義相同的子簇？若存在，它們之間的關係為何？

主要发现

• 由單一長度為3的結合類型恆等式所定義的偽群（I）子簇，總共恰好有8個不同的子簇。
• 這8個子簇的偏序集形成完整的包含層次結構，其最小元素為帶最小元的半格（SL）變量，最大元素為完整的I變量。
• 當限制於對稱I-偽群（S）時，僅有3個不同的子簇可由長度為3的結合類型恆等式產生：SL、S₁₄ 和 S。
• 這三個子簇滿足嚴格包含鏈：SL ⊂ S₁₄ ⊂ S，其中S₁₄為一 proper intermediate 範疇。
• 布林代數（BA）不包含於S₁₄，此點由一個4元素的反例代數所證明。
• 子簇S₁₄由恆等式(A14)：(x→y)→(z→x) ≈ (x→z)→(y→x) 定義，且嚴格介於SL與S之間。