[论文解读] Implicit and semi-implicit second-order time stepping methods for the Richards equation

Sana Keita, Abdelaziz Beljadid+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2021

Numerical methods for differential equations被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种基于混合有限元法、以饱和度和压力水头为基本变量的理查德方程的二阶精度、半隐式时间格式。该方法采用时间外推和半隐式泰勒近似来线性化非线性项，从而实现高精度与强鲁棒性；数值结果表明，半隐式 $(S,\psi)$-格式在精度、效率和收敛稳定性方面优于隐式格式及其他混合格式。

ABSTRACT

This study concerns numerical methods for efficiently solving the Richards equation where different weak formulations and computational techniques are analyzed. The spatial discretizations are based on standard or mixed finite element methods. Different implicit and semi-implicit temporal discretization techniques of second-order accuracy are studied. To obtain a linear system for the semi-implicit schemes, we propose second-order techniques using extrapolation formulas and/or semi-implicit Taylor approximations for the temporal discretization of nonlinear terms. A numerical convergence study and a series of numerical tests are performed to analyze efficiency and robustness of the different schemes. The developed scheme, based on the proposed temporal extrapolation techniques and the mixed formulation involving the saturation and pressure head and using the standard linear Lagrange element, performs better than other schemes based on the saturation and the flux and using the Raviart-Thomas elements. The proposed semi-implicit scheme is a good alternative when implicit schemes meet convergence issues.

研究动机与目标

• 开发理查德方程的二阶精度、高效且鲁棒的时间积分格式。
• 解决由于土壤水力特性中强非线性导致隐式格式收敛性问题。
• 比较不同弱形式（仅饱和度、饱和度-通量、饱和度-压力水头）的性能。
• 评估半隐式与全隐式格式在实际模拟中的效率与鲁棒性。
• 通过精确解和具有不同材料性质的基准测试案例验证所提格式的有效性。

提出的方法

• 采用线性拉格朗日元的混合有限元法对饱和度和压力水头进行离散。
• 通过外推公式和非线性项的半隐式泰勒近似实现二阶时间格式。
• 利用时间外推线性化系统，避免在每个时间步求解非线性系统。
• 采用正则化公式（3.2）以防止饱和度趋近于1时出现退化现象。
• 使用标准迭代求解器并结合质量集中技术以增强稳定性。
• 在结构化和非结构化网格上，针对不同时间步长和网格尺寸测试格式性能。

Figure 1: Test case without regularization of the Leverett $J$ -function: Profile of the manufactured solution ( 5.1 ) at different times for $c=-41.1$ .

实验结果

研究问题

• RQ1 二阶半隐式时间格式是否能在理查德方程中实现比一阶隐式格式更高的精度与效率？
• RQ2 不同弱形式（仅$S$、$S$-$q$、$S$-$\psi$）在收敛速率、精度和计算成本方面如何比较？
• RQ3 所提出的半隐式 $(S,\psi)$-格式是否能在避免牛顿型求解器常见收敛失败的同时保持二阶精度？
• RQ4 当达到完全饱和状态时，特别是毛细压力函数退化时，该格式表现如何？
• RQ5 网格细化与时间步长大小对 $(S,\psi)$-格式的收敛行为有何影响？

主要发现

• 半隐式 $(S,\psi)$-格式在时间方向达到二阶精度，并展现出优于其他格式的收敛行为。
• 饱和度 $S_h$ 的 $L^2$-误差收敛率为约 $k=1.8$，压力水头 $\psi_h$ 的收敛率为 $k=1.3$。
• 压力水头的误差约为饱和度误差的70倍，表明压力近似对误差更敏感。
• 隐式 $(S,\psi)$-格式允许比一阶方法更大的时间步长，同时保持精度。
• 当非线性导致牛顿迭代收敛失败时，半隐式 $(S,\psi)$-格式比隐式格式更具鲁棒性。
• 在所有测试案例中，$(S,\psi)$-格式在精度和计算效率方面均优于 $S$-格式和 $(S,\bm{q})$-格式。

Figure 2: Manufactured solution — Test case without regularization of the Leverett $J$ -function: $L^{2}$ - and $H^{1}$ -error on $S_{h}$ and $\psi_{h}$ as a function of the mesh size $h$ for each scheme with respect to the manufactured solution ( 5.1 ) for $c=-41.1$ .