[论文解读] Implicit Decision Diagrams

Isaac Rudich, Louis-Martin Rousseau|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2026

Constraint Satisfaction and Optimization被引用 0

一句话总结

该论文引入隐式决策图以降低每层构造成本，在黑箱框架内证明最优性，并发布 Julia 求解器（ImplicitDDs.jl），在 Subset Sum 上的表现优于 Gurobi。

ABSTRACT

Decision Diagrams (DDs) have emerged as a powerful tool for discrete optimization, with rapidly growing adoption. DDs are directed acyclic layered graphs; restricted DDs are a generalized greedy heuristic for finding feasible solutions, and relaxed DDs compute combinatorial relaxed bounds. There is substantial theory that leverages DD-based bounding, yet the complexity of constructing the DDs themselves has received little attention. Standard restricted DD construction requires $O(w \log(w))$ per layer; standard relaxed DD construction requires $O(w^2)$, where $w$ is the width of the DD. Increasing $w$ improves bound quality at the cost of more time and memory. We introduce implicit Decision Diagrams, storing arcs implicitly rather than explicitly, and reducing per-layer complexity to $O(w)$ for restricted and relaxed DDs. We prove this is optimal: any framework treating state-update and merge operations as black boxes cannot do better. Optimal complexity shifts the challenge from algorithmic overhead to low-level engineering. We show how implicit DDs can drive a MIP solver, and release ImplicitDDs, an open-source Julia solver exploiting the implementation refinements our theory enables. Experiments demonstrate the solver outperforms Gurobi on Subset Sum. Code (https://github.com/IsaacRudich/ImplicitDDs.jl)

研究动机与目标

• 分析 DD 构造的复杂性，并将固有成本与与问题相关的成本分离。
• 开发以隐式方式存储弧的隐式决策图，以降低每层成本。
• 在黑箱状态更新与合并操作下证明隐式 DD 构造的最优性。
• 将隐式 DD 框架应用于整数规划，展示其可以驱动 MIP 求解器。
• 发布开源求解器（ImplicitDDs.jl）并在基准问题上验证性能。

提出的方法

• 在 DD 构造中定义固有成本与问题相关成本。
• 给出具有 O(width) 每层复杂度的隐式受限 DD 和隐式松弛 DD。
• 证明最优性：没有任何黑箱框架能够在状态更新与合并方面超越 O(width) 因子。
• 将该方法专门应用于整数规划，证明固有成本支配问题相关成本。
• 提供 ImplicitDDs.jl 作为基于 Julia 的求解器，通过 JuMP 接口并展示实际性能。

Figure 1 : Exact decision diagram for $\mathcal{P}_{ex}$ . X indicates a constraint violation.

实验结果

研究问题

• RQ1 在保持正确性的前提下，隐式 DD 是否能将 per-layer 计算成本从传统的 O(width log width)（受限）和 O(width^2)（松弛）降至 O(width)？
• RQ2 在将状态更新和合并视为黑箱时，DD 构造的理论极限（最优性）是什么？
• RQ3 如何将隐式 DD 集成到 MIP/IP 求解器中，并通过 JuMP 进行利用？
• RQ4 隐式 DD 在经典组合问题（如 Subset Sum）上是否带来实际性能提升？
• RQ5 在隐式 DD 框架下，IP 设置中问题相关成本与固有成本相比如何？

主要发现

• 隐式受限 DD 和隐式松弛 DD 的每层复杂度达到 O(width)，而不是 O(width log width) 和 O(width^2)。
• 在状态更新和合并方面，O(width) 构造界在黑箱框架内是最优的。
• 对于整数规划，问题相关成本被固有成本所吞没，保留理论保证。
• 作者发布了 ImplicitDDs.jl，这是一个与 JuMP 连接的优化开源 Julia 求解器。
• 实验表明该求解器在 Subset Sum 上优于 Gurobi。

Figure 2 : Restricted DD for $\mathcal{P}_{ex}$ , $0pt=3$ . X marks infeasible or trimmed nodes.