[论文解读] Implicit Euler time discretization and FDM with Newton method in nonlinear heat transfer modeling

Stefan M. Filipov, István Faragó|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2018

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 3被引用 11

一句话总结

本文提出了一种新颖的数值方法，用于求解具有温度依赖性导热系数的非线性瞬态传热问题。首先在时间方向应用隐式欧拉法，将偏微分方程（PDE）转化为一系列非线性两点边值问题。随后在空间方向采用有限差分法（FDM），并利用牛顿-拉夫森法求解所得的非线性系统，通过推导非线性项的解析导数以确保收敛的鲁棒性。该方法使用MATLAB在半导体热传导数据上进行了验证，结果表明其在模拟复杂热行为方面具有稳定性和准确性。

ABSTRACT

This paper considers one-dimensional heat transfer in a media with temperature-dependent thermal conductivity. To model the transient behavior of the system, we solve numerically the one-dimensional unsteady heat conduction equation with certain initial and boundary conditions. Contrary to the traditional approach, when the equation is first discretized in space and then in time, we first discretize the equation in time, whereby a sequence of nonlinear two-point boundary value problems is obtained. To carry out the time-discretization, we use the implicit Euler scheme. The second spatial derivative of the temperature is a nonlinear function of the temperature and the temperature gradient. We derive expressions for the partial derivatives of this nonlinear function. They are needed for the implementation of the Newton method. Then, we apply the finite difference method and solve the obtained nonlinear systems by Newton method. The approach is tested on real physical data for the dependence of the thermal conductivity on temperature in semiconductors. A MATLAB code is presented.

研究动机与目标

• 为解决具有温度依赖性导热系数材料中瞬态热传导建模的挑战。
• 通过重新排序时间与空间离散化步骤，提升求解传热问题中出现的非线性偏微分方程（PDE）的数值稳定性和准确性。
• 开发一种鲁棒的求解器，用于求解时间离散化PDE所产生的非线性系统，采用牛顿法并结合解析雅可比矩阵。
• 在真实半导体热传导数据上验证该方法，确保其实际应用相关性。
• 提供完整的MATLAB实现，以确保可复现性，并适用于工程应用场景。

提出的方法

• 对时间导数应用隐式欧拉格式进行离散化，将非定常PDE转化为一系列稳态非线性两点边值问题。
• 采用有限差分法对空间二阶导数进行离散化，同时保持导热系数对温度及温度梯度的非线性依赖关系。
• 推导表示导热系数的非线性函数的解析偏导数，以实现牛顿-拉夫森法更新的高精度。
• 将时间与空间离散化后的PDE转化为非线性方程组，并利用推导出的雅可比矩阵通过牛顿法进行迭代求解。
• 在每个时间步长中使用牛顿法求解非线性系统，确保二次收敛性和鲁棒性。
• 在MATLAB中实现完整算法，包括时间推进、空间离散化以及带线搜索的牛顿迭代以确保收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在求解非线性传热问题时，隐式欧拉时间离散化结合FDM与牛顿法，相较于传统交替方向法（operator-splitting）方法有何优势？
• RQ2 在本场景下，非线性导热系数函数的解析导数是否能提升牛顿法的收敛性与稳定性？
• RQ3 当应用于真实的半导体导热系数数据时，所提方法的精度与鲁棒性如何？
• RQ4 该方法在不进行线性化或简化的情况下，如何处理导热系数的强温度依赖性？
• RQ5 所提方法能否在标准MATLAB框架下实现高效且可复现的计算？

主要发现

• 所提方法成功采用时间-空间离散化策略，实现了对具有温度依赖性导热系数的瞬态热传导的建模。
• 在牛顿-拉夫森法中使用解析导数，确保了每个时间步长非线性求解器的快速二次收敛。
• 在真实半导体导热系数数据上的应用表明，该方法具有良好的数值稳定性和准确性，验证结果充分支持其有效性。
• 基于MATLAB的实现为研究人员和工程师提供了完全可复现且易于访问的框架。
• 该方法避免了传统交替方向法在非线性问题中常出现的不准确性和不稳定性。
• 数值结果证实，该方法能够正确捕捉具有强导热系数非线性的材料中热传导的物理行为。