[论文解读] Implicit-explicit BDF $k$ SAV schemes for general dissipative systems and their error analysis

Fukeng Huang, Jie Shen|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2021

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 19被引用 5

一句话总结

该论文提出了一类无条件稳定、高阶（k=1 至 5）的隐式-显式 BDF$k$ 标量辅助变量（SAV）格式，适用于一般耗散系统，包括 Allen-Cahn 和 Cahn-Hilliard 型方程。通过引入一种特殊的控制因子 $ackslash eta_k^{n+1}$，该方法确保了能量范数的统一有界性，从而在无需全局利普希茨条件的前提下，实现了 $L^ackslash infty(0,T;H^2)$ 范数下的严格最优误差估计。

ABSTRACT

We construct efficient implicit-explicit BDF$k$ scalar auxiliary variable (SAV) schemes for general dissipative systems. We show that these schemes are unconditionally stable, and lead to a uniform bound of the numerical solution in the norm based on the principal linear operator in the energy. Based on this uniform bound, we carry out a rigorous error analysis for the $k$th-order $(k=1,2,3,4,5)$ SAV schemes in a unified form for a class of typical Allen-Cahn type and Cahn-Hilliard type equations. We also present numerical results confirming our theoretical convergence rates.

研究动机与目标

• 为一般耗散系统开发高阶、无条件稳定的时间积分格式。
• 克服现有 SAV 方法在高阶格式下缺乏严格误差分析的局限性。
• 建立适用于 Allen-Cahn 和 Cahn-Hilliard 型方程的 $k$ 阶 BDF$^k$ SAV 格式的统一误差分析框架。
• 通过每时间步仅需求解一个常系数线性系统，确保计算效率。
• 在非线性项不假设全局利普希茨连续性的前提下，提供 $L^\backslash infty(0,T;H^2)$ 范数下的最优误差估计。

提出的方法

• 在 SAV 格式中引入一种新颖的控制因子 $\backslash eta_k^{n+1}$，以确保能量范数的统一有界性。
• 将 BDF$k$ 时间离散化与非线性项的隐式-显式（IMEX）处理相结合。
• 将 SAV 方法应用于一般耗散系统，通过引入辅助变量将原始能量泛函转化为二次形式。
• 结合文献 [13] 中关于 BDF$k$ 格式的稳定性结果与统一的 $H^1$ 有界性，以支持误差分析。
• 采用精巧的归纳法推导出 $L^\backslash infty(0,T;H^2)$ 范数下的最优误差估计。
• 通过数值实验验证了该方法，确认了 $k=1$ 至 $5$ 时理论收敛速率的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为一般耗散系统构造出高阶（$k=1$ 至 $5$）的 BDF$^k$ SAV 格式，使其具备无条件能量稳定性与最优误差估计？
• RQ2 如何为 $k$ 阶 SAV 格式建立能量范数的统一有界性，以支持严格的误差分析？
• RQ3 所提出的格式能否通过每时间步仅求解一个常系数线性系统来保持计算效率？
• RQ4 是否可能在不假设非线性项具有全局利普希茨连续性的前提下，推导出 $L^\backslash infty(0,T;H^2)$ 范数下的最优误差估计？
• RQ5 数值结果是否验证了 $k=1$ 至 $5$ 时的理论收敛速率？

主要发现

• 所提出的 $k$ 阶 BDF$^k$ SAV 格式具有无条件稳定性，并在数值解的 $H^1$-范数上表现出统一有界性。
• 对 Allen-Cahn 和 Cahn-Hilliard 型方程，均建立了 $L^\backslash infty(0,T;H^2)$ 范数下的最优误差估计。
• 该格式每时间步仅需求解一个常系数线性系统，计算效率与标准 IMEX 格式相当。
• 误差估计的推导未假设非线性项具有全局利普希茨连续性，从而扩展了 SAV 方法的适用范围。
• 数值结果验证了 $k=1$ 至 $5$ 时的理论收敛速率，证实了该格式的精度与稳定性。
• 该方法在实现高阶精度与无条件稳定性的同时，也适用于自适应时间步长策略。