[论文解读] Implicit-explicit Runge-Kutta schemes and applications to hyperbolic systems with relaxation

L. Pareschi, G. Russo|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2010

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics被引用 6

一句话总结

本文提出了一类针对具有松弛项的双曲系统高阶、渐近保持的隐-显（IMEX）Runge-Kutta格式，结合了用于双曲通量的强稳定性保持（SSP）显式格式与用于刚性松弛项的L-稳定对角隐式Runge-Kutta（DIRK）方法。该格式在刚性与非刚性情形下均保持高阶精度，并通过WENO空间重构实现高分辨率激波捕捉，在浅水流动、交通流和颗粒气体等应用中表现出优于低阶方法的性能。

ABSTRACT

We consider new implicit-explicit (IMEX) Runge-Kutta methods for hyperbolic systems of conservation laws with stiff relaxation terms. The explicit part is treated by a strong-stability-preserving (SSP) scheme, and the implicit part is treated by an L-stable diagonally implicit Runge-Kutta methods (DIRK). The schemes proposed are asymptotic preserving (AP) in the zero relaxation limit. High accuracy in space is obtained by Weighted Essentially Non Oscillatory (WENO) reconstruction. After a description of the mathematical properties of the schemes, several applications will be presented.

研究动机与目标

• 开发适用于具有刚性松弛项的双曲系统的高阶、渐近保持（AP）时间积分格式。
• 将用于非刚性通量的强稳定性保持（SSP）显式格式与用于刚性源项的L-稳定对角隐式Runge-Kutta（DIRK）方法相结合。
• 确保格式在零松弛极限（即渐近精度）下保持其精度阶次。
• 通过加权本质无振荡（WENO）重构实现高分辨率空间离散化，以捕捉激波。
• 在浅水流动、交通动力学和颗粒气体动力学等实际物理应用中验证格式的性能。

提出的方法

• IMEX Runge-Kutta框架将系统划分为显式与隐式部分：显式处理双曲通量项 ∂xF(U)，隐式处理刚性松弛项 R(U)/ε。
• 显式阶段值通过强稳定性保持（SSP）格式计算，以保持单调性并防止间断附近产生振荡。
• 隐式阶段值通过L-稳定对角隐式Runge-Kutta（DIRK）方法计算，以确保在刚性情形下的稳定性。
• 通过带有WENO重构的保守有限体积或有限差分离散化实现高阶空间精度，以最小化激波附近的振荡。
• 证明了该格式具有渐近保持（AP）特性，即当 ε → 0 时，数值解收敛至正确的平衡系统。
• 在颗粒气体应用中，使用牛顿法高效求解隐式阶段产生的非线性代数系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出在刚性松弛极限（ε → 0）下仍保持其精度阶次的高阶IMEX Runge-Kutta格式？
• RQ2 如何在保证隐式部分L-稳定性的前提下，保持显式部分的强稳定性保持（SSP）特性？
• RQ3 与低阶空间格式相比，WENO重构在具有松弛项的双曲系统中能在多大程度上提升激波特性的分辨率？
• RQ4 在不同物理 regime 下，所提出的IMEX格式与传统分裂方法相比，在精度与稳定性方面表现如何？
• RQ5 该格式能否在不引入过多数值耗散的情况下，处理如颗粒气体模型中的复杂非线性源项？

主要发现

• 所提出的 IMEX-SSP2-WENO 和 IMEX-SSP3-WENO 格式分别在非刚性与刚性情形下实现了二阶与三阶精度，其中三阶格式表现出显著减少的激波弥散。
• 在 ε = 0.2 的交通流模型中，三阶格式比二阶格式更清晰地捕捉了激波，振荡极小，且密度与通量分布保持一致的分辨率。
• 在 ε = 0.01 的颗粒气体模型中，三阶格式比二阶格式表现出更少的数值耗散，更完整地保持了激波结构，尽管由于保守变量的表述方式，压力分布中出现了微小的虚假振荡。
• 格式表现出渐近保持行为：当 ε → 0 时，数值解收敛至平衡系统，证实与简化模型的一致性。
• 牛顿法的应用使得在颗粒气体情形下高效求解非线性隐式系统成为可能，即使源项具有强非线性，也能保证数值鲁棒性。
• 数值结果表明，与标准Strang分裂方法相比，该格式在刚性情形下表现更优，后者在刚性区域存在阶次降低的问题。