[论文解读] Implicit Higher-Order Moment Matching Technique for Model Reduction of Quadratic-bilinear Systems

Mian Mohammad Arsalan Asif, Mian Ilyas Ahmad+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 21被引用 12

一句话总结

该论文通过将多变量矩匹配扩展至前三个传递函数，并采用多变量传递函数的简化正规形式，提出了一种用于二次-双线性系统模型降阶的隐式高阶矩匹配技术。该方法通过在投影矩阵构建中引入非线性系统矩阵（N 和 H），提升了精度，相较于现有技术，实现了更低计算成本的更优降阶模型。

ABSTRACT

We propose a projection based multi-moment matching method for model order reduction of quadratic-bilinear systems. The goal is to construct a reduced system that ensures higher-order moment matching for the multivariate transfer functions appearing in the input-output representation of the nonlinear system. An existing technique achieves this for the first two multivariate transfer functions, in what is called the symmetric form of the multivariate transfer functions. We extend this framework to an equivalent and simplified form, the regular form, which allows us to show moment matching for the first three multivariate transfer functions. Numerical results for three benchmark examples of quadratic-bilinear systems show that the proposed framework exhibits better performance with reduced computational cost in comparison to existing techniques.

研究动机与目标

• 解决在流体动力学、VLSI 电路和生物过程等应用中大规模二次-双线性系统对高精度、低成本模型降阶的需求。
• 克服现有矩匹配技术仅能以对称形式匹配前两个多变量传递函数的局限性。
• 通过引入传递函数的简化正规形式，将矩匹配扩展至前三个多变量传递函数。
• 通过在投影矩阵 V 和 W 的构建中纳入双线性（N）和二次（H）系统矩阵，提升近似质量。
• 与 IMM、IGMM-s 和 IGMM-r2 等现有方法相比，展示出更优性能和更低计算成本。

提出的方法

• 采用多变量传递函数的正规形式，作为先前工作中使用的对称形式的简化且等价的替代形式。
• 对正规形式下的前三个多变量传递函数应用广义多矩匹配，实现更高阶矩匹配。
• 利用系统矩阵 A、N、H、B、C 以及从传递函数中导出的插值点，构建投影矩阵 V 和 W。
• 通过将残差正交化于由 W 张成的测试子空间，确保 Petrov-Galerkin 条件。
• 通过投影构造降阶系统：Ê = Wᵀ E V，Â = Wᵀ A V，N̂ = Wᵀ N V，Ĥ = Wᵀ H (V⊗V)，B̂ = Wᵀ B，Ĉ = C V。
• 利用正规形式的结构简化矩匹配计算，提升数值效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 多变量传递函数表示能否被简化，以实现对前两个以上传递函数的高阶矩匹配？
• RQ2 在投影矩阵构建中纳入双线性（N）和二次（H）矩阵是否能提升降阶模型的精度？
• RQ3 与仅匹配前两个传递函数相比，匹配前三个多变量传递函数在近似误差和计算成本方面有何差异？
• RQ4 所提出的方法能否在基准二次-双线性系统上，优于 IMM、IGMM-s 和 IGMM-r2 等现有技术，生成更优的降阶模型？
• RQ5 匹配更高阶矩对不同输入信号和系统类型下降阶模型的稳定性和精度有何影响？

主要发现

• 所提出的 IGMM-r3 方法通过使用正规形式，实现了对前三个多变量传递函数的高阶矩匹配，相较于对称形式，其数学结构更简化。
• IGMM-r3 显著降低了近似误差：在 RC 电路示例中，最大相对误差为 0.0007（而 IMM-s2 为 0.0083）；在 Burgers 方程中，最大误差为 0.0063（而 IMM-s2 为 0.0377）。
• 该方法通过避免使用高阶导数并利用基于正规形式的更高效矩阵构造过程，降低了计算成本。
• 在 FitzHugh-Nagumo 系统中，IGMM-r3 构建了阶数为 24 的降阶模型，其最大绝对误差比 IMM-s2 小一个数量级，且 IMM-s2 在阶数超过 16 后变得不稳定。
• 在投影矩阵构建中包含 N 和 H 矩阵，可生成更精确的降阶模型，这一点在输出响应和三维图中的极限环行为匹配中得到验证。
• 匹配第三个传递函数显著提升了精度，如在三个基准示例（RC 电路、Burgers 方程、FitzHugh-Nagumo 系统）中，最大误差均持续降低。