[论文解读] Implicitization of rational maps

Nicolás Botbol|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2011

Polynomial and algebraic computation参考文献 22被引用 5

一句话总结

本论文提出了一种新颖的方法，通过在toric紧化上使用逼近复形来隐式化有理映射，实现了对超曲面隐式方程的高效计算。通过解析基理想对称代数的解析，并利用分次环中的Castelnuovo-Mumford正则性，该方法将隐式方程表示为复形映射的行列式，同时给出了确保正确性与几何解释的度数$uf$显式界限。

ABSTRACT

Motivated by the interest in computing explicit formulas for resultants and discriminants initiated by Bézout, Cayley and Sylvester in the eighteenth and nineteenth centuries, and emphasized in the latest years due to the increase of computing power, we focus on the implicitization of hypersurfaces in several contexts. Our approach is based on the use of linear syzygies by means of approximation complexes, following [Busé Jouanolou 03], where they develop the theory for a rational map $f:P^{n-1}\dashrightarrow P^n$. Approximation complexes were first introduced by Herzog, Simis and Vasconcelos in [Herzog Simis Vasconcelos 82] almost 30 years ago. The main obstruction for this approximation complex-based method comes from the bad behavior of the base locus of $f$. Thus, it is natural to try different compatifications of $A^{n-1}$, that are better suited to the map $f$, in order to avoid unwanted base points. With this purpose, in this thesis we study toric compactifications $T$ for $A^{n-1}$. We provide resolutions $Z.$ for $Sym_I(A)$, such that $\det((Z.)_ν)$ gives a multiple of the implicit equation, for a graded strand $ν\gg 0$. Precisely, we give specific bounds $ν$ on all these settings which depend on the regularity of $\SIA$. Starting from the homogeneous structure of the Cox ring of a toric variety, graded by the divisor class group of $T$, we give a general definition of Castelnuovo-Mumford regularity for a polynomial ring $R$ over a commutative ring $k$, graded by a finitely generated abelian group $G$, in terms of the support of some local cohomology modules. As in the standard case, for a $G$-graded $R$-module $M$ and an homogeneous ideal $B$ of $R$, we relate the support of $H_B^i(M)$ with the support of $Tor_j^R(M,k)$.

研究动机与目标

• 为解决有理映射$f: \mathbb{A}^{n-1} \dashrightarrow \mathbb{A}^n$的隐式化计算困难问题，改进经典方法。
• 通过域的toric紧化克服因基点行为不良导致的逼近复形方法局限性。
• 提供显式度数界限$\nu$，使得$\det((\mathcal{Z}_\bullet)_\nu)$成为隐式方程的倍式。
• 将Castelnuovo-Mumford正则性推广至由有限生成阿贝尔群分次的多项式环，利用局部上同调与Tor模。
• 为行列式计算中出现的多余因子提供几何解释。

提出的方法

• 利用基于对称代数$\mathrm{Sym}_A(I)$的逼近复形来逼近基理想$I$的Rees代数$\mathrm{Rees}_A(I)$，在基点被爆破之后。
• 在射影空间中嵌入并利用Cox环，研究$\mathbb{A}^{n-1}$的toric紧化$\mathscr{T}$，以更好地控制基点。
• 在$(\mathbb{P}^1)^n$中紧化余定义域，以处理具有不同分母的有理映射。
• 构造$\mathrm{Sym}_A(I)$的解析$\mathcal{Z}_\bullet$，并对$\nu \gg 0$计算$\det((\mathcal{Z}_\bullet)_\nu)$，以获得隐式方程的倍式。
• 基于$\mathrm{Sym}_A(I)$的Castelnuovo-Mumford正则性建立$\nu$的界限，确保行列式捕捉到正确的隐式方程。
• 利用Cox环的分次结构与局部上同调模，为$G$-分次环定义广义正则性理论，关联$H^i_B(M)$与$\mathrm{Tor}^R_j(M,k)$的支撑。

实验结果

研究问题

• RQ1 逼近复形方法如何适应基点行为不良的有理映射？
• RQ2 哪些$\mathbb{A}^{n-1}$的toric紧化能更好地控制隐式化中的基点？
• RQ3 何种度数界限$\nu$可确保$\det((\mathcal{Z}_\bullet)_\nu)$为隐式方程的倍式？
• RQ4 Castelnuovo-Mumford正则性如何推广至由有限生成阿贝尔群分次的多项式环？
• RQ5 行列式$\det((\mathcal{Z}_\bullet)_\nu)$中出现的多余因子具有何种几何意义？

主要发现

• 该方法将隐式方程计算为$\mathrm{Sym}_A(I)$的解析中右端映射的行列式，显式度数界限$\nu$确保了结果的正确性。
• 在所研究的例子中，矩阵$N$在度数$\nu = (5,2,3)$下的行列式给出隐式方程的倍式，经参数方程代入验证成立。
• 行列式中的多余因子具有几何可解释性，源于基点结构与爆破的构造。
• 广义正则性理论将局部上同调模$H^i_B(M)$的支撑与$\mathrm{Tor}$模的支撑联系起来，将经典结果推广至$G$-分次环。
• 该方法通过直接从单个行列式提取隐式方程，避免了昂贵的GCD计算，且经参数方程代入验证有效。
• 即使有理映射具有不同分母，该方法仍有效，通过在$(\mathbb{P}^1)^n$中紧化余定义域实现。