[论文解读] Impossibility of Classically Simulating One-Clean-Qubit Computation

Keisuke Fujii, Hirotada Kobayashi+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 7

一句话总结

本文证明了，若多项式时间层次结构坍缩至第二层，则含有一块洁净量子比特的量子计算模型（DQC1）无法被经典计算机高效模拟。通过建立DQC1与复杂度类SBQP之间的联系，作者表明，若能模拟DQC1，将导致多项式层次结构坍缩，从而在合理复杂度假设下解决了Knill与Laflamme长期提出的开放问题。

ABSTRACT

Deterministic quantum computation with one quantum bit (DQC1) is a restricted model of quantum computing where the input state is the completely mixed state except for a single clean qubit, and only a single output qubit is measured at the end of the computing. It is proved that the restriction of quantum computation to the DQC1 model does not change the complexity classes NQP and SBQP. As a main consequence, it follows that the DQC1 model cannot be efficiently simulated by classical computers unless the polynomial-time hierarchy collapses to the second level (more precisely, to AM), which answers the long-standing open problem posed by Knill and Laflamme under the very plausible complexity assumption. The argument developed in this paper also weakens the complexity assumption necessary for the existing impossibility results on classical simulation of various sub-universal quantum computing models, such as the IQP model and the Boson sampling.

研究动机与目标

• 解决长期以来关于一洁净量子比特（DQC1）模型是否可被经典计算机高效模拟的开放问题。
• 通过将其与多项式层次结构关联，建立经典模拟DQC1的理论障碍。
• 强化子通用量子模型（如IQP和玻色采样）中不可能性结果所需复杂度假设。
• 证明尽管DQC1具有限制性，其仍展现出超越经典模拟的非经典计算能力。

提出的方法

• 作者分析DQC1模型，其中仅一个量子比特是洁净的，其余均为最大混合态，并证明该模型捕捉了复杂度类SBQP。
• 他们证明DQC1模型可计算NQP和SBQP中的问题，这意味着若能高效经典模拟，则多项式层次结构将坍缩至AM。
• 该论证避免了后选择，与先前相关模型的研究不同，而是采用直接的复杂度理论约化。
• 他们表明，任何具有多项式多输出量子比特的IQP DQC1线路均可被经典强模拟，这与一般IQP线路的困难性形成对比。
• 该证明依赖于DQC1线路与比特翻转操作可交换的特性，从而通过对称性与图态性质，实现输出概率的高效经典计算。
• 关键洞见在于：当DQC1线路为IQP类型时，由于酉矩阵的结构及在比特翻转下的对称性，其输出概率分布可在经典多项式时间内计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 一洁净量子比特（DQC1）模型能否被经典计算机高效模拟？
• RQ2 若DQC1可被经典模拟，其计算能力是否会导致多项式层次结构坍缩？
• RQ3 在经典模拟困难性方面，DQC1与IQP和玻色采样等其他子通用模型相比如何？
• RQ4 能否在不依赖后选择的前提下，证明DQC1无法被经典模拟，如以往结果所示？
• RQ5 DQC1与复杂度类NQP和SBQP之间的精确关系是什么？

主要发现

• DQC1模型捕捉了复杂度类SBQP，意味着它可高效求解SBQP中的问题。
• 若DQC1可被高效经典模拟，则在合理复杂度假设下，多项式层次结构将坍缩至第二层（具体为AM）。
• 该结果在合理假设下解决了Knill与Laflamme长期提出的关于DQC1经典可模拟性的开放问题。
• 该证明技术避免了后选择，使其更具鲁棒性，并可适用于无后选择的模型。
• 作者表明，IQP DQC1线路可被经典强模拟，这与一般IQP线路的困难性形成鲜明对比。
• 分析表明，由于对称性及与比特翻转操作的可交换性，DQC1线路的输出概率可在经典多项式时间内计算。