[论文解读] Improper filtrations for C*-algebras: spectra of unilateral tridiagonal operators

William Arveson|ArXiv.org|Nov 23, 1992

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用 21

一句话总结

本文为通过有限维压缩矩阵的特征值近似单边三对角算子谱提供了严格的收敛框架。证明了 $n \times n$ 截断矩阵的实测谱测度弱收敛于无限算子的谱测度，从而使得利用标准特征值求解器可靠计算谱成为可能。

ABSTRACT

We extend the results of our previous paper "C*-algebras and numerical linear algebra" to cover the case of "unilateral" sections. This situation bears a close resemblance to the case of Toeplitz operators on Hardy spaces, in spite of the fact that the operators here are far from Toeplitz operators. In particular, there is a short exact sequence 0 --> K --> A --> B --> 0 whose properties are essential to the problem of computing the spectra of self adjoint operators.

研究动机与目标

• 为量子力学中出现的无限三对角算子谱的数值近似建立理论基础。
• 证明当 $n \to \infty$ 时，$n \times n$ 单边压缩矩阵的特征值收敛于完整算子的谱测度。
• 将谱测度 $\mu_T$ 与由算子和移位算子生成的 $C^*$-代数上的唯一迹态联系起来。
• 提供一种实用的计算框架，基于特征值密度判断某一点是否属于谱。

提出的方法

• 通过 $H_n = \text{span}\{e_1, \dots, e_n\}$ 定义 $H = \ell^2(\mathbb{Z})$ 的一个滤子 $\{H_n\}$，该滤子不正规，因为 $H_+ \neq H$。
• 将全三对角算子 $T$ 在 $H_n$ 上的压缩定义为 $n \times n$ 的单边矩阵 $T_n$。
• 证明归一化的特征值计数测度 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \delta_{\lambda_i^n}$ 沿着 $n \to \infty$ 弱收敛于谱测度 $\mu_T$。
• 证明 $\mu_T$ 是 $C^*$-代数 $\mathcal{A}$ 上唯一迹态 $\tau$ 的像测度，其中 $\mathcal{A}$ 由移位算子和对角算子 $M_d$ 生成。
• 利用 $\mathcal{A}$ 的单性证明 $\tau$ 是忠实的，因此 $\mu_T$ 恰好在 $\sigma(T)$ 上有支撑。
• 应用关于不正规滤子的定理 2.3，得出在谱分布下实测测度的弱收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 三对角算子的 $n \times n$ 单边压缩矩阵的特征值序列是否收敛于完整算子的谱？
• RQ2 无限三对角算子的谱测度 $\mu_T$ 是否可作为有限截断实测测度的弱极限恢复？
• RQ3 由算子和移位算子生成的 $C^*$-代数上的唯一迹态在定义谱测度中起什么作用？
• RQ4 如何仅通过有限矩阵 $T_n$ 的特征值判断给定实数 $\lambda$ 是否属于 $T$ 的谱？
• RQ5 在谱点 $\lambda$ 的邻域内，$T_n$ 的特征值数量的增长速率如何？

主要发现

• 当 $n \to \infty$ 时，$n \times n$ 单边截断矩阵 $T_n$ 的实测谱测度 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \delta_{\lambda_i^n}$ 弱收敛于谱测度 $\mu_T$。
• 算子 $T$ 的谱恰好是 $\mu_T$ 的闭支撑，而 $\mu_T$ 通过 $C^*$-代数 $\mathcal{A}$ 上的迹 $\tau$ 定义。
• 实数 $\lambda$ 属于 $T$ 的谱当且仅当 $T_n$ 的特征值在 $\lambda$ 的每个邻域内以正密度聚集。
• 对于任意满足 $\mu_T(\partial I) = 0$ 的博雷尔集 $I$，当 $n$ 足够大时，$T_n$ 在 $I$ 中的特征值个数 $N_n(I)$ 满足 $n \alpha \leq N_n(I) \leq n \beta$，其中 $\alpha < \mu_T(I) < \beta$。
• 若 $\lambda$ 不在谱中，则对 $\lambda$ 的小邻域 $I$，有 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} N_n(I) = 0$，且 $N_n(I)$ 关于 $n$ 一致有界。
• 收敛是有效的：由于对固定的 $n$，$N_n((-∞, x])$ 可快速计算，因此可高效实现谱及其测度的数值近似。