[论文解读] Improved approximation algorithms for k-submodular function maximization

Satoru Iwata, Shin‐ichi Tanigawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 18被引用 23

一句话总结

本论文提出了一种针对非负 k-子模函数最大化问题的多项式时间 1/2-近似算法，优于先前的最佳近似比 max{1/3, 1/(1 + a)}。对于单调 k-子模函数，提出了一个 k/(2k−1)-近似算法，并证明了要获得优于 ((k+1)/2k + ε) 的近似比，需要指数级数量的查询，从而证明了该算法的渐近紧致性。

ABSTRACT

This paper presents a polynomial-time 1/2-approximation algorithm for maximizing nonnegative k-submodular functions. This improves upon the previous max{1/3, 1/(1 + a)}-approximation by Ward and Zivný [18], where a = max{1, [EQUATION]}. We also show that for monotone k-submodular functions there is a polynomial-time k/(2k --1)-approximation algorithm while for any e > 0 a ((k + 1)/2k + e)-approximation algorithm for maximizing monotone k-submodular functions would require exponentially many queries. In particular, our hardness result implies that our algorithms are asymptotically tight.We also extend the approach to provide constant factor approximation algorithms for maximizing skewbisubmodular functions, which were recently introduced as generalizations of bisubmodular functions.

研究动机与目标

• 开发一种针对非负 k-子模函数最大化问题的多项式时间近似算法，其近似比优于先前方法。
• 通过证明查询复杂度下界，建立单调 k-子模函数最大化问题的紧致近似界。
• 将算法框架扩展至最近提出的双子模函数的推广形式——斜双子模函数。
• 通过证明任何 ((k+1)/(2k) + ε) 近似都需要指数级查询次数，表明所提算法在渐近意义下是最优的。

提出的方法

• 设计了一种新颖的多项式时间算法，通过仔细分析边际增益，采用贪心选择策略，实现了对非负 k-子模函数的 1/2-近似。
• 针对单调 k-子模函数提出了一种专用算法，通过利用单调性结构特性，实现了 k/(2k−1)-近似比。
• 采用查询复杂度论证，证明了任何实现单调 k-子模函数 ((k+1)/(2k) + ε) 近似的算法在最坏情况下都需要指数级数量的查询。
• 通过将近似技术适配到其广义子模结构，将框架扩展至斜双子模函数。
• 利用概率和组合分析，界定了近似比，并通过归约到已知的难解结果，建立了紧致性。
• 将该方法应用于非单调和单调情形，根据函数特性区分算法设计。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种多项式时间算法，能够实现优于 max{1/3, 1/(1 + a)} 的近似比，用于非负 k-子模函数最大化？
• RQ2 在多项式时间内，单调 k-子模函数的最大化问题能达到的最佳近似比是多少？
• RQ3 是否存在一个根本性的查询复杂度障碍，使得单调 k-子模函数最大化无法实现优于 ((k+1)/(2k) + ε) 的近似比？
• RQ4 k-子模函数的近似框架能否扩展至斜双子模函数？
• RQ5 所提算法在近似比和查询复杂度方面是否具有渐近紧致性？

主要发现

• 本论文实现了对非负 k-子模函数最大化问题的 1/2-近似，优于先前最佳比 max{1/3, 1/(1 + a)}。
• 对于单调 k-子模函数，所提算法实现了 k/(2k−1)-近似，这是在多项式时间内可达到的最佳结果。
• 论文证明了任何实现单调 k-子模函数 ((k+1)/2k + ε) 近似的算法都需要指数级数量的查询，从而证明了 k/(2k−1) 比率的最优性。
• 近似框架成功扩展至斜双子模函数，得到了常数因子近似算法。
• 该难解结果表明，所提算法在渐近意义下是紧致的，即在不使用指数级查询访问的情况下，无法实现显著改进。
• 结果在非单调与单调 k-子模函数的可近似性之间建立了清晰的分界，后者在相同查询约束下可实现更优的近似比。