[论文解读] Improved Approximation Algorithms for Stochastic Matching

Marek Adamczyk, Fabrizio Grandoni+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2015

Organ Donation and Transplantation被引用 7

一句话总结

本文提出了随机匹配问题的改进近似算法，其中边具有概率性存在性，节点具有限制探测尝试次数的超时机制。通过引入基于边概率的非均匀随机探测顺序，并结合线性规划（LP）舍入与自适应采样，作者在二分图中实现了2.845-近似，在一般图中实现了3.709-近似，显著优于先前3和4的界限。在在线二分图设置下，还实现了4.07-近似，优于先前7.92的界限。

ABSTRACT

In this paper we consider the Stochastic Matching problem, which is motivated by applications in kidney exchange and online dating. We are given an undirected graph in which every edge is assigned a probability of existence and a positive profit, and each node is assigned a positive integer called timeout. We know whether an edge exists or not only after probing it. On this random graph we are executing a process, which one-by-one probes the edges and gradually constructs a matching. The process is constrained in two ways: once an edge is taken it cannot be removed from the matching, and the timeout of node $v$ upper-bounds the number of edges incident to $v$ that can be probed. The goal is to maximize the expected profit of the constructed matching. For this problem Bansal et al. (Algorithmica 2012) provided a $3$-approximation algorithm for bipartite graphs, and a $4$-approximation for general graphs. In this work we improve the approximation factors to $2.845$ and $3.709$, respectively. We also consider an online version of the bipartite case, where one side of the partition arrives node by node, and each time a node $b$ arrives we have to decide which edges incident to $b$ we want to probe, and in which order. Here we present a $4.07$-approximation, improving on the $7.92$-approximation of Bansal et al. The main technical ingredient in our result is a novel way of probing edges according to a random but non-uniform permutation. Patching this method with an algorithm that works best for large probability edges (plus some additional ideas) leads to our improved approximation factors.

研究动机与目标

• 开发在节点超时约束下更优的随机匹配问题近似算法。
• 改进Bansal等人建立的二分图3-近似和一般图4-近似的界限。
• 解决具有时间限制物品探测和随机买家到达的在线随机匹配问题。
• 设计一种探测策略，在尊重节点特定探测限制的前提下最大化期望收益。
• 通过非均匀随机排列和基于LP的舍入，优化边探测概率的分析。

提出的方法

• 引入一种非均匀随机边探测顺序，根据边的个体概率优先处理，而非基于最大关联边概率。
• 使用线性规划松弛来建模分数解，并应用舍入技术以指导探测过程。
• 将非均匀探测策略与两阶段方法结合：单独处理高概率边，并使用倾倒因子控制探测可能性。
• 使用指数随机变量建模在线到达过程，以模拟随机买家顺序，并计算边保持未阻塞的概率。
• 利用指数变量的独立性和无记忆性，推导边被探测且未被阻塞的概率下限。
• 应用乘积不等式和积分界限，推导出以LP解表示的期望收益下限，从而实现常数因子近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 非均匀随机探测顺序是否能超越均匀随机排序，在随机匹配问题中实现更优的近似比？
• RQ2 在超时约束下，如何最优平衡高、低概率边的探测，以最大化期望收益？
• RQ3 如何更有效地近似具有随机买家到达的在线随机匹配问题，优于现有7.92-近似？
• RQ4 能否利用无记忆到达模型和指数随机变量，使边探测成功率的分析更加紧密？
• RQ5 在超时和概率边约束下，一般图和二分图随机匹配问题的最佳可实现近似因子是多少？

主要发现

• 本文在二分图随机匹配中实现了2.845-近似，优于先前的3-近似。
• 对于一般图，所提算法实现了3.709-近似，优于先前的4-近似。
• 在在线二分图设置下，算法实现了4.07-近似，显著优于先前的7.92-近似。
• 关键改进源于一种依赖于边概率 $ p_e $ 的非均匀探测顺序，而非最大关联边概率。
• 分析表明，每条边 $ e $ 被探测的概率至少为 $ x_e imes rac{e-1}{3e-1} $，该值超过 $ rac{1}{4.16}x_e $，从而实现更紧的界限。
• 通过将非均匀探测与两阶段策略结合，作者在在线设置下实现了4.07-近似，且理论上可无限接近 $ 4.16^{-1} $。