[论文解读] Improved Approximation Algorithms for the Non-preemptive Speed-scaling Problem

Evripidis Bampis, Giorgio Lucarelli+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2012

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 11被引用 3

一句话总结

本论文提出了非抢占式速度调节问题的改进近似算法，其中作业必须不间断执行。该工作提出了一套新颖的算法框架，将作业划分为相容、团或层叠实例，并采用两阶段方法，结合最优抢占式调度与非抢占式速度调整，实现了在 $ m $ 个处理器上对相容实例的 $(4(2 - 1/m))^{\alpha-1}$-近似比。

ABSTRACT

We are given a set of jobs, each one specified by its release date, its deadline and its processing volume (work), and a single (or a set of) speed-scalable processor(s). We adopt the standard model in speed-scaling in which if a processor runs at speed s then the energy consumption is s^α per time unit, where α>1. Our goal is to find a schedule respecting the release dates and the deadlines of the jobs so that the total energy consumption is minimized. While most previous works have studied the preemptive case of the problem, where a job may be interrupted and resumed later, we focus on the non-preemptive case where once a job starts its execution, it has to continue until its completion without any interruption. We propose improved approximation algorithms for particular instances of the multiprocessor non-preemptive speed-scaling problem.

研究动机与目标

• 解决非抢占式速度调节问题，即作业执行不能中断，目标是最小化动态电压/频率调节下的能耗。
• 通过为特殊实例族设计高效的近似算法，克服非抢占变体的强 NP-难问题。
• 聚焦于实际且结构化的输入类别，如相容、团和层叠实例，以建模现实世界的调度约束。
• 在多处理器环境（$ m \geq 1 $）下，相较于以往工作，提供更优的近似保证。
• 建立一个框架，利用最优抢占式调度作为下界参考，指导非抢占式调度决策。

提出的方法

• 基于关键时间点 $ T_1, \dots, T_k $，将输入作业划分为 $ k $ 个基于连续时间区间的子实例 $ \mathcal{I}_1, \dots, \mathcal{I}_k $。
• 对每个子实例 $ \mathcal{I}_\ell $，使用已知的多项式时间算法计算最优抢占式调度 $ \mathcal{S}_{pr}^{(\ell)} $。
• 通过调整作业速度和执行区间，将每个抢占式调度 $ \mathcal{S}_{pr}^{(\ell)} $ 转换为满足非抢占约束的非抢占式调度 $ \mathcal{S}_{npr}^{(\ell)} $。
• 利用一个关键结构性质：任意来自相邻子实例的两个作业，其活跃区间不重叠，从而确保调度的可行性。
• 应用速度调节变换，将作业速度提高 2 倍以压缩执行时间，使能耗成本增加 $ 2^{\alpha-1} $，该值通过引理 6 得到有界。
• 将各子实例的非抢占式调度 $ \mathcal{S}_{npr}^{(\ell)} $ 串联，形成最终调度 $ \mathcal{S}_{npr} $，确保所有释放和截止时间约束均被满足。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否为多处理器环境下的非抢占式速度调节问题设计一个常数因子近似算法？
• RQ2 在相容、团或层叠实例中，非抢占式调度的最佳可实现近似比是多少？
• RQ3 在相同约束条件下，非抢占式调度的能耗与最优抢占式调度的能耗有何关系？
• RQ4 我们能否将一般实例分解为子实例，使得生成的非抢占式调度仍保持可行且接近最优？
• RQ5 通过加速（即压缩时间区间）对非抢占式环境下的能耗有何影响？

主要发现

• 所提出的算法在 $ m $ 个处理器上对相容实例的非抢占式速度调节问题，实现了 $(4(2 - 1/m))^{\alpha-1}$-近似比。
• 对于每个子实例 $ \mathcal{I}_\ell $，非抢占式调度 $ \mathcal{S}_{npr}^{(\ell)} $ 的能耗至多为最优抢占式调度 $ \mathcal{S}_{pr}^{(\ell)} $ 的 $(2(2 - 1/m))^{\alpha-1}$ 倍。
• 变换后调度 $ \mathcal{S}_{npr}^{(\ell)} $ 的能耗受压缩区间上抢占式调度能耗的 $ 2^{\alpha-1} $ 倍有界，如引理 6 所形式化。
• 由于 $ \mathcal{I}_\ell $ 中任意作业的截止时间严格早于 $ \mathcal{I}_{\ell+1} $ 中任意作业的释放时间，因此在子实例间串联非抢占式调度仍保持可行性。
• 最终非抢占式调度 $ \mathcal{S}_{npr} $ 的总能耗被限制为不超过全实例最优抢占式调度能耗的 $(4(2 - 1/m))^{\alpha-1}$ 倍。
• 该框架具有通用性，适用于常见释放时间、常见截止时间及纯层叠实例等特殊情况，这些情况均被相容类所涵盖。