[论文解读] Improved approximation bounds for Vector Bin Packing

Chetan S. Rao, Jeffrey John Geevarghese+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2010

Optimization and Packing Problems参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于高维（d ≥ 2）向量装箱问题（VBP）的新型近似算法，结合线性规划松弛与改进的首次适应贪心启发式方法。该算法对大规模输入实现了 2-OPT 近似保证，且与维度 d 无关，显著优于先前的 (ln d + 1 + ε) 近似界。

ABSTRACT

In this paper we propose an improved approximation scheme for the Vector Bin Packing problem (VBP), based on the combination of (near-)optimal solution of the Linear Programming (LP) relaxation and a greedy (modified first-fit) heuristic. The Vector Bin Packing problem of higher dimension (d \geq 2) is not known to have asymptotic polynomial-time approximation schemes (unless P = NP). Our algorithm improves over the previously-known guarantee of (ln d + 1 + epsilon) by Bansal et al. [1] for higher dimensions (d > 2). We provide a θ(1) approximation scheme for certain set of inputs for any dimension d. More precisely, we provide a 2-OPT algorithm, a result which is irrespective of the number of dimensions d.

研究动机与目标

• 解决当 d ≥ 2 时多维向量装箱问题（VBP）缺乏渐近多项式时间近似方案（APTAS）的问题。
• 改进现有高维 VBP 的 (ln d + 1 + ε) 近似界。
• 设计一种与维度无关的近似保证，实现 θ(1) 性能，特别是对大规模输入达到 2-OPT 界。
• 设计一种混合算法，根据 LP 松弛解的结果自适应调整策略。

提出的方法

• 将 VBP 建模为整数线性规划（ILP），然后放松整数约束以获得线性规划（LP）松弛。
• 使用二分查找确定满足松弛 LP 的最小箱数 m'，确保 m' ≤ OPT。
• 根据 m' 的值将输入分为三类：m ≥ n/2，m ≤ √(n/d)，或处于中间范围。
• 针对不同情况应用不同启发式方法：高 m 时使用 FirstFit，低 m 时使用 GreedyLP，中间 m 时使用 IterativePack。
• 在 IterativePack 中，识别具有高利用率的箱（即 ∑ x_ij z_ij ≥ 1/2），按 x_ij 值降序排列，并仅打包 x_ij ≥ 1/2 的向量，以减少箱的使用数量。
• 利用对偶变量 z_ij 指导箱的选择，提升迭代阶段的打包效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为多维向量装箱问题实现与维度无关的近似保证？
• RQ2 将 LP 松弛与贪心启发式方法结合，是否能获得优于现有 (ln d + 1 + ε) 边界的近似比？
• RQ3 能否对大规模输入实现 2-OPT 近似，且与维度 d 无关？
• RQ4 如何利用 LP 解的结构来指导装箱决策，以确保性能有界？

主要发现

• 所提出的算法对大规模输入实现了与维度 d 无关的 2-OPT 近似保证。
• 当 m ≤ √(n/d) 时，GreedyLP 启发式方法确保使用的箱数不超过 2×OPT，这是由于箱的利用率接近最优。
• 在 IterativePack 阶段，每次迭代仅打包满足 x_ij ≥ 1/2 的向量，确保使用的箱数不超过最优值的两倍。
• 该算法在某些输入类别上的性能被 θ(1) 近似比所限制，优于 Bansal 等人提出的 (ln d + 1 + ε) 边界。
• 该方法通过聚焦于高利用率箱，有效减少了每次迭代后的剩余向量数量，从而实现高效打包。