[论文解读] Improved Approximation for Guarding Simple Galleries from the Perimeter

James King, David Kirkpatrick|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2010

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对简单多边形的 $O(\log\log\mathrm{OPT})$-近似算法，通过在边界或顶点上放置守卫来实现，优于先前的 $O(\log\mathrm{OPT})$ 边界。该方法通过为从守卫问题导出的命中集实例设计 $\varepsilon$-网查找器，并应用 Brönnimann-Goodrich 框架，实现了多项式时间近似，且具有可证明的次对数性能，适用于简单多边形。

ABSTRACT

We provide an O(log log OPT)-approximation algorithm for the problem of guarding a simple polygon with guards on the perimeter. We first design a polynomial-time algorithm for building epsilon-nets of size O(1/epsilon log log 1/epsilon) for the instances of Hitting Set associated with our guarding problem. We then apply the technique of Bronnimann and Goodrich to build an approximation algorithm from this epsilon-net finder. Along with a simple polygon P, our algorithm takes as input a finite set of potential guard locations that must include the polygon's vertices. If a finite set of potential guard locations is not specified, e.g. when guards may be placed anywhere on the perimeter, we use a known discretization technique at the cost of making the algorithm's running time potentially linear in the ratio between the longest and shortest distances between vertices. Our algorithm is the first to improve upon O(log OPT)-approximation algorithms that use generic net finders for set systems of finite VC-dimension.

研究动机与目标

• 为受限于边界或顶点的简单多边形守卫问题设计一个多项式时间近似算法，改进先前的 $O(\log\mathrm{OPT})$ 边界。
• 为从守卫问题中导出的命中集实例设计一个大小为 $O\left(\frac{1}{\varepsilon}\log\log\frac{1}{\varepsilon}\right)$ 的 $\varepsilon$-网查找器。
• 应用 Brönnimann-Goodrich 框架，将 $\varepsilon$-网查找器转化为具有改进近似比的完整近似算法。
• 通过在守卫位置未预先指定的情况下使用离散化技术，处理此类情况，代价是运行时间依赖于最长与最短顶点距离之比 $\Delta$。

提出的方法

• 为从仅使用边界或顶点守卫的博物馆问题导出的命中集实例构造一个 $\varepsilon$-网查找器，实现大小为 $O\left(\frac{1}{\varepsilon}\log\log\frac{1}{\varepsilon}\right)$。
• 应用 Brönnimann-Goodrich 框架，该框架利用 $\varepsilon$-网推导出守卫问题的 $O(\log\log\mathrm{OPT})$-近似算法。
• 当未提供有限的守卫位置集合时，使用已知的离散化技术，确保算法在 $n$ 和 $\Delta$ 上仍为多项式时间。
• 分析可见性片段的结构及其类型（1–6），以限制每级的片段数量，证明每级仅有常数个片段是‘富有成效’的，从而控制网的大小。
• 建立仅类型 (3)–(6) 的片段可以是有成效的，且类型 (6) 的片段最多有两个有成效的子节点，从而限制可见性结构的增长。
• 利用可见集系统 VC-维数的性质，确保 $\varepsilon$-网构造高效，并使最终算法在多项式时间内运行。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将使用边界或顶点守卫守卫简单多边形的近似比改进至 $O(\log\mathrm{OPT})$ 以下？
• RQ2 是否可能实现对边界守卫的 $o(\log\log\mathrm{OPT})$ 近似，甚至实现与 Eidenbenz 的 APX-难结果相匹配的常数因子近似？
• RQ3 边界守卫集合系统的真正 VC-维数是多少？能否将目前 23 的上界改进？
• RQ4 尽管点守卫的可见性结构更复杂，是否可以将相同的 $O(\log\log\mathrm{OPT})$ 近似扩展到点守卫？

主要发现

• 本文实现了使用顶点或边界守卫守卫简单多边形的 $O(\log\log\mathrm{OPT})$-近似，这是该设置下首次在 $O(\log\mathrm{OPT})$ 边界之上取得的改进。
• 构造了一个大小为 $O\left(\frac{1}{\varepsilon}\log\log\frac{1}{\varepsilon}\right)$ 的 $\varepsilon$-网查找器，该大小虽次优（相比标准的 $O(\frac{1}{\varepsilon})$ 网），但足以实现改进的近似。
• 该算法在 $n$ 和潜在守卫位置数量上为多项式时间，当未提供有限守卫集合时，其在 $n$ 和 $\Delta$ 上仍保持多项式时间。
• 分析表明，每级最多有两个片段是有成效的，且在层级 $i$ 中，能看到某一点的片段数最多为 $4i$，这限制了与 VC-维数相关的复杂度。
• 本文确立了边界守卫集合系统的 VC-维数至少为 5，可能高达 6，尽管点守卫的上界 23 对边界守卫也适用。
• 该工作为边界守卫实现常数因子近似留下了可能，与 Eidenbenz 的 APX-难结果相匹配，并表明改进边界守卫 VC-维数上界可能比点守卫更容易。