[论文解读] Improved Approximation for Node-Disjoint Paths in Grids with Sources on the Boundary

Julia Chuzhoy, David H. K. Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种随机化近似算法，针对所有源点位于网格边界上的网格图中的节点不相交路径（NDP）问题，实现了 $2^{O(\sqrt{\log n} \cdot \log\log n)}$ 的近似比。该方法摒弃了标准的多商品流松弛方法，转而使用一种新颖的线性规划仅用于选择需路由的路径对，随后结合几何与动态规划技术，通过与边界对齐的列和行来路由这些路径，从而有效规避了 $\Omega(\sqrt{n})$ 的整数规划间隙。

ABSTRACT

We study the classical Node-Disjoint Paths (NDP) problem: given an undirected $n$-vertex graph G, together with a set {(s_1,t_1),...,(s_k,t_k)} of pairs of its vertices, called source-destination, or demand pairs, find a maximum-cardinality set of mutually node-disjoint paths that connect the demand pairs. The best current approximation for the problem is achieved by a simple greedy $O(\\sqrt{n})$-approximation algorithm. A special case of the problem called NDP-Grid, where the underlying graph is a grid, has been studied extensively. The best current approximation algorithm for NDP-Grid achieves an $\ ilde{O}(n^{1/4})$-approximation factor. On the negative side, a recent result by the authors shows that NDP is hard to approximate to within factor $2^{\\Omega(\\sqrt{\\log n})}$, even if the underlying graph is a sub-graph of a grid, and all source vertices lie on the grid boundary. In a follow-up work, the authors further show that NDP-Grid is hard to approximate to within factor $\\Omega(2^{\\log^{1-\\epsilon}n})$ for any constant $\\epsilon$ under standard complexity assumptions, and to within factor $n^{\\Omega(1/(\\log\\log n)^2)}$ under randomized ETH. In this paper we study NDP-Grid, where all source vertices {s_1,...,s_k} appear on the grid boundary. Our main result is an efficient randomized $2^{O(\\sqrt{\\log n} \\cdot \\log\\log n)}$-approximation algorithm for this problem. We generalize this result to instances where the source vertices lie within a prescribed distance from the grid boundary. Much of the work on approximation algorithms for NDP relies on the multicommodity flow relaxation of the problem, which is known to have an $\\Omega(\\sqrt n)$ integrality gap, even in grid graphs. Our work departs from this paradigm, and uses a (completely different) linear program only to select the pairs to be routed, while the routing itself is computed by other methods.

研究动机与目标

• 设计一种针对所有源点位于网格边界上的网格图中节点不相交路径（NDP）问题的更优近似算法。
• 克服在边界源点网格图中标准多商品流松弛方法所存在的 $\Omega(\sqrt{n})$ 整数规划间隙。
• 实现一个显著优于先前 $\tilde{O}(n^{1/4})$ 边界值的近似比，尤其在强下界结果的背景下更具意义。
• 开发一种利用几何结构（特别是沿网格边界划分的区间以及基于列/行的路径）的路由框架，而非依赖于基于流的舍入方法。

提出的方法

• 仅使用线性规划来选择需路由的路径对，避免依赖多商品流松弛方法。
• 将选定的路径对映射到网格边界上的区间，并根据嵌套结构将这些区间划分为不同层级，通过网格中指定的列或行进行路由。
• 通过网格左侧的垂直列和上方的水平行，分别对左侧、右侧和顶部的区间进行路由，利用可用空间确保路径的节点不相交。
• 对剩余的路径对，构建在排除已使用顶点的修改图上的流网络，通过最大流最小割定理确保整数路由。
• 利用动态规划与区间嵌套性质，高效地将路径分配给不同层级的区间。
• 通过确保来自不同区间类型和层级的路径不相交，结合网格的几何布局，最终验证路由结果的节点不相交性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在边界源点的网格图中，将NDP问题的近似比改进至超过 $\tilde{O}(n^{1/4})$ 的界限？
• RQ2 在该特殊情形下，是否可能规避多商品流松弛方法所存在的 $\Omega(\sqrt{n})$ 整数规划间隙？
• RQ3 边界约束的网格图具有哪些可被利用的结构性质，以设计更优的近似算法？
• RQ4 如何利用区间嵌套与几何布局来实现路径路由，而无需依赖基于流的舍入方法？

主要发现

• 本论文在所有源点位于边界的网格图中，实现了 $2^{O(\sqrt{\log n} \cdot \log\log n)}$ 的近似比，优于先前的 $\tilde{O}(n^{1/4})$ 边界值。
• 该算法通过将路径对选择与实际路由解耦，成功规避了多商品流松弛方法的 $\Omega(\sqrt{n})$ 整数规划间隙。
• 路由策略采用分层区间分解，并利用专用列/行确保路径的节点不相交，其中顶部、左侧和右侧区间的路径通过网格的不同区域进行路由。
• 该方法可推广至源点位于边界常数距离以内的实例，且保持相同的近似比。
• 该算法为随机化算法，运行时间多项式，相较于先前在边界源点情形下的方法有显著改进。
• 该结果近乎紧致，因为论文表明此类网格图中的NDP问题难以近似至 $2^{\Omega(\sqrt{\log n})}$ 以内，使得新边界值接近最优。