[论文解读] Improved Bicriteria Existence Theorems for Scheduling
本文通过将平均完成时间调度建模为连续概率密度函数，实现了对断点的积分微分优化，从而改进了双准则调度的近似界。证明了对任意 ρ∈[0,1]，存在一个 (1+ρ, e^ρ/(e^ρ−1))-近似解，从而得到更紧的界，例如 (2, 1.582)、(1.695, 2) 和 (1.806, 1.806)，分别对应于完成时间和加权完成时间之间的权衡。
Two common objectives for evaluating a schedule are the makespan, or schedule length, and the average completion time. This short note gives improved bounds on the existence of schedules that simultaneously optimize both criteria. In particular, for any rho> 0, there exists a schedule of makespan at most 1+rho times the minimum, with average completion time at most (1-e)^rho times the minimum. The proof uses an infininite-dimensional linear program to generalize and strengthen a previous analysis by Cliff Stein and Joel Wein (1997).
研究动机与目标
- 通过细化完成时间和平均加权完成时间的近似界，改进现有双准则调度存在性定理。
- 开发一种连续的概率框架以分析离散调度方案，从而实现对断点选择的优化。
- 建立比以往方法（如 Stein 和 Wein (1997)）更紧的双准则近似保证，适用于一大类调度问题。
- 将双准则调度结果的适用范围扩展至相关问题，如旅行维修员问题和 minsum 优化问题。
提出的方法
- 将最优平均完成时间调度建模为连续概率密度函数（pdf），并归一化权重使得总加权完成时间等于一。
- 在 αL 处定义一个断点，其中 L 为最优完成时间，分析由此产生的调度方案的完成时间和平均完成时间作为 α 的函数。
- 将混合调度的平均完成时间表示为涉及 pdf 和作业在 αL 之后完成时的乘数因子 (1+α)/z 的积分。
- 将最坏情况性能表述为对所有可能 pdf 和断点的极大化-极小化优化问题，从而导出一个无穷维线性规划。
- 通过求解该规划的对偶问题，识别出使性能差距最大化的最坏情况 pdf f_opt(x)，该 pdf 实现了完成时间和平均完成时间之间的最优权衡。
- 通过证明当 f_opt(x) 为在 [0,ρ) 上呈指数衰减、并在 x=ρ 处具有狄拉克δ函数的分段函数时，最坏情况积分达到最大值，从而推导出关键结果。
实验结果
研究问题
- RQ1通过优化多个断点而非单个断点，能否在完成时间和平均加权完成时间之间获得更紧的双准则近似界？
- RQ2当完成时间最多为最优值的 (1+ρ) 倍时，完成时间和平均完成时间之间的最优权衡是什么？
- RQ3如何有效利用连续概率分布对调度的离散性进行建模，以简化双准则分析？
- RQ4能否将本研究中为调度问题开发的框架扩展至其他 minsum 优化问题，如旅行维修员问题？
- RQ5在一大类调度问题中，完成时间和平均完成时间的最紧可能近似比是多少？
主要发现
- 对任意 ρ∈[0,1]，在满足两个通用有效性条件的任何调度问题中，均存在一个 (1+ρ, e^ρ/(e^ρ−1))-近似解。
- 该界 e^ρ/(e^ρ−1) 严格优于 Stein 和 Wein 的 (2,2) 构造所实现的平均完成时间 2-近似界。
- 具体而言，本文证明了 (2, 1.582)-解、(1.695, 2)-解和 (1.806, 1.806)-解的存在性，优于以往结果。
- 使性能差距最大化的最坏情况 pdf f_opt(x) 是 [0,ρ) 上的指数衰减与 x=ρ 处的狄拉克δ函数的混合体。
- 该方法可超越调度问题：其表明旅行售货员问题和旅行维修员问题中存在 (1+α, β)-近似环游路径。
- 该框架可扩展至其他 minsum 目标（如 ∑w_j C_j²），表明其在加权完成时间之外也具有广泛适用性。
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