[论文解读] Improved bounds for the excluded-minor approximation of treedepth

Wojciech Czerwiński, Wojciech Nadara+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2019

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

本文改进了树深度的排除极小式近似界，证明任何树深度至少为 $ C a b $ 的图，要么其树宽至少为 $ a $，要么包含一棵树深度至少为 $ b $ 的次立方树，其中 $ C = \log 3 / \log((1+\sqrt{5})/2) $。该结果将先前的界从 $ \Omega(k^5 \log^2 k) $ 提升至 $ \Omega(k^3) $，并由此导出一个时间复杂度为多项式的时间近似算法，其近似界为 $ O(k t \log^{3/2} t) $，优于之前的 $ O(k t^2 \log t) $。关键技术进展在于对给定树深度的次立方子树深度建立了下界。

ABSTRACT

Treedepth, a more restrictive graph width parameter than treewidth and pathwidth, plays a major role in the theory of sparse graph classes. We show that there exists a constant $C$ such that for every positive integers $a,b$ and a graph $G$, if the treedepth of $G$ is at least $Cab$, then the treewidth of $G$ is at least $a$ or $G$ contains a subcubic (i.e., of maximum degree at most $3$) tree of treedepth at least $b$ as a subgraph. As a direct corollary, we obtain that every graph of treedepth $\Omega(k^3)$ is either of treewidth at least $k$, contains a subdivision of full binary tree of depth $k$, or contains a path of length $2^k$. This improves the bound of $\Omega(k^5 \log^2 k)$ of Kawarabayashi and Rossman [SODA 2018]. We also show an application of our techniques for approximation algorithms of treedepth: given a graph $G$ of treedepth $k$ and treewidth $t$, one can in polynomial time compute a treedepth decomposition of $G$ of width $\mathcal{O}(kt \log^{3/2} t)$. This improves upon a bound of $\mathcal{O}(kt^2 \log t)$ stemming from a tradeoff between known results. The main technical ingredient in our result is a proof that every tree of treedepth $d$ contains a subcubic subtree of treedepth at least $d \cdot \log_3 ((1+\sqrt{5})/2)$.

研究动机与目标

• 改进树深度的排除极小式近似界，将对 $ k $ 的依赖从 $ \Omega(k^5 \log^2 k) $ 降低至 $ \Omega(k^3) $。
• 建立一个结构结果：任何树深度为 $ d $ 的树，均包含一棵树深度至少为 $ d \cdot \log_3((1+\sqrt{5})/2) $ 的次立方子树。
• 将该结构结果应用于设计一种更快的多项式时间近似算法，以改进对树宽和树深度的依赖关系。
• 提供一种几乎最优的构造方法，生成避免长路径和大二叉树细分的树，同时保持较高的树深度。

提出的方法

• 通过递归分解和对有根子树的结构分析，证明任何树深度为 $ d $ 的树，均包含一棵树深度至少为 $ d \cdot \log_3((1+\sqrt{5})/2) $ 的次立方子树。
• 利用次立方子树结果，推导出新的排除极小式近似界：若 $ \text{td}(G) \geq C a b $，则 $ \text{tw}(G) \geq a $ 或 $ G $ 包含一棵树深度 $ \geq b $ 的次立方树。
• 结合引理 1.1（从树分解中多项式时间求解树深度分解）与树宽近似方法，获得一个新的近似算法，其近似界为 $ O(\text{td}(G) \cdot \text{tw}(G) \cdot \log^{3/2} \text{tw}(G)) $。
• 构造一个递归树族 $ G_n $，其不含长度为 $ 2n+2 $ 的路径，也无深度为 $ n+2 $ 的满二叉树细分，但树深度为 $ \binom{n+1}{2} $，以证明界的紧致性。
• 对树族 $ G_{a,b} $ 使用归纳法证明下界，表明由长度为 $ 2a $ 的路径连接 $ b $-深度子树构成的树，其树深度满足 $ \text{td}(H) \geq a + b $。

实验结果

研究问题

• RQ1 树深度的排除极小式近似界能否从 $ \Omega(k^5 \log^2 k) $ 改进至 $ \Omega(k^3) $？
• RQ2 在给定树深度 $ d $ 的树中，其次立方子树的最大可能树深度是多少？
• RQ3 能否通过利用次立方子树的结构特性，改进多项式时间树深度算法的近似比？
• RQ4 排除极小式近似界 $ \Omega(k^3) $ 是否在常数因子意义下最优？

主要发现

• 本文建立了新的排除极小式近似界：若 $ \text{td}(G) \geq C a b $，则 $ \text{tw}(G) \geq a $ 或 $ G $ 包含一棵树深度至少为 $ b $ 的次立方树，其中 $ C = \log 3 / \log((1+\sqrt{5})/2) \approx 1.44 $。
• 该界从 $ \Omega(k^5 \log^2 k) $ 提升至 $ \Omega(k^3) $，表明树深度为 $ \Omega(k^3) $ 的图必然包含一个 $ k \times k $ 的网格极小式子图，或一棵树深度为 $ \Omega(k) $ 的次立方树。
• 本文提出一种新的多项式时间树深度近似算法，其近似比为 $ O(\text{td}(G) \cdot \text{tw}(G) \cdot \log^{3/2} \text{tw}(G)) $，优于先前的 $ O(\text{td}(G) \cdot \text{tw}(G)^2 \cdot \log \text{tw}(G)) $。
• 本文构造了一类树 $ G_n $，其树深度为 $ \binom{n+1}{2} $，不含包含 $ 2n+2 $ 个顶点的路径，也无深度为 $ n+2 $ 的满二叉树细分，从而证明了结构界紧致性。
• 证明并应用了一个核心技术工具：任何树深度为 $ d $ 的树，均包含一棵树深度至少为 $ d \cdot \log_3((1+\sqrt{5})/2) \approx d \cdot 0.67 $ 的次立方子树。