[论文解读] Improved constructions of quantum automata

Andris Ambainis, Nikolajs Nahimovs|ArXiv.org|May 12, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文提出了一种简化且更高效的量子有限自动机（QFA）构造，相较于经典有限自动机实现了指数级的空间优势。通过组合多个具有随机参数的小型量子自动机，所提出的QFA使用 $\frac{4}{\epsilon}\log 2p + O(1)$ 个状态识别语言 $L_p = \{a^i \mid i \text{ 被 } p \text{ 整除}\}$，在保持对非成员高精度的同时，显著改进了先前工作的常数因子。

ABSTRACT

We present a simple construction of quantum automata which achieve an exponential advantage over classical finite automata. Our automata use \frac{4}ε \log 2p + O(1) states to recognize a language that requires p states classically. The construction is both substantially simpler and achieves a better constant in the front of \log p than the previously known construction of Ambainis and Freivalds (quant-ph/9802062). Similarly to Ambainis and Freivalds, our construction is by a probabilistic argument. We consider the possibility to derandomize it and present some results in this direction.

研究动机与目标

• 开发一种更简单、更高效的量子有限自动机（QFA），使其在 $L_p$ 语言上相较于经典有限自动机实现指数级空间优势。
• 相较于 Ambainis 和 Freivalds（AF）的先前构造，降低 $O(\log p)$ 状态复杂度中的常数因子。
• 探索在保持正确性和效率的前提下，对概率构造进行去随机化的方法。
• 为同一语言提供可证明正确的非概率QFA构造，包括一个具有 $O(\log^{2+\epsilon}p)$ 个状态的构造。

提出的方法

• 构建一个基础QFA $U_k$，其包含两个状态，对每个输入符号 $a$ 应用角度为 $\frac{2\pi k}{p}$ 的旋转，使用酉变换。
• 将 $d = \frac{4}{\epsilon}\log 2p$ 个此类自动机并行组合，每个自动机的 $k_i \in \{1,\dots,p-1\}$ 随机选择，形成复合QFA。
• 使用左边界标记将系统初始化为 $d$ 个初始状态 $|q_{i,0}\rangle$ 的均匀叠加，从而在各组件间实现干涉。
• 应用右边界标记将叠加态坍缩至第一个组件 $|q_{1,0}\rangle$，该状态为唯一接受状态。
• 利用量子干涉：对于非 $p$ 的倍数的输入，接受概率取决于 $\frac{2\pi k_i j}{p}$ 余弦值的平方和，由于随机相位抵消，该值在概率上接近零。
• 提供两种去随机化构造：一种通过数值验证具有 $O(\log p)$ 个状态，另一种为可证明正确的构造，具有 $O(\log^{2+\epsilon}p)$ 个状态。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种更简单、更高效的量子有限自动机，使其在语言 $L_p$ 上相较于经典自动机实现指数级空间优势？
• RQ2 对于以高成功概率识别 $L_p$ 的QFA，$\log p$ 前的最小常数因子是多少？
• RQ3 是否可能在保持正确性和近似最优状态复杂度的前提下，对概率构造进行去随机化？
• RQ4 能否为 $L_p$ 构造一个可证明正确、非概率的QFA，且其状态数为 $O(\log^{2+\epsilon}p)$ ？

主要发现

• 所提出的QFA以 $\frac{4}{\epsilon}\log 2p + O(1)$ 个状态识别 $L_p = \{a^i \mid i \text{ 被 } p \text{ 整除}\}$，其常数因子优于先前的 $16\log p$ 构造。
• 对于不在 $L_p$ 中的输入，接受概率被限制为 $\frac{1}{d^2}\left(\sum_{i=1}^d \cos\left(\frac{2\pi k_i j}{p}\right)\right)^2$，由于随机相位抵消，该值在概率上很小。
• 该构造相较于 Ambainis 和 Freivalds 的先前概率方法更为简洁，分析更清晰，复杂度更低。
• 提出了一种具有 $O(\log p)$ 个状态的去随机化构造，但其正确性仅由数值证据支持。
• 存在一种可证明正确的去随机化构造，其状态数为 $O(\log^{2+\epsilon}p)$，适用于任意 $\epsilon > 0$，在状态数与确定性之间提供了权衡。
• 本文证实，量子自动机可实现相较于经典自动机的指数级空间优势，新构造在效率和简洁性方面均有提升。