[论文解读] Improved Decision Rule Approximations for Multi-Stage Robust Optimization via Copositive Programming

Guanglin Xu, Grani A. Hanasusanto|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2018

Advanced Optimization Algorithms Research被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于共正性规划的多阶段鲁棒优化决策规则近似方法，通过使用分段线性决策规则和半定规划松弛，实现了对具有不确定目标系数、资源矩阵和右端项问题的更紧致且可计算的解。与现有最先进方法相比，该方法在保持计算可扩展性的同时，显著提升了最优性边界。

ABSTRACT

We study decision rule approximations for generic multi-stage robust linear optimization problems. We consider linear decision rules for the case when the objective coefficients, the recourse matrices, and the right-hand sides are uncertain, and consider quadratic decision rules for the case when only the right-hand sides are uncertain. The resulting optimization problems are NP-hard but amenable to copositive programming reformulations that give rise to tight conservative approximations. We further enhance these approximations through new piecewise decision rule schemes. Finally, we prove that our proposed approximations are tighter than the state-of-the-art schemes and demonstrate their superiority through numerical experiments.

研究动机与目标

• 解决在一般不确定性结构下多阶段鲁棒优化（MSRO）的计算不可行性问题。
• 在资源不固定的情况下，开发比传统线性决策规则更紧致的保守近似方法。
• 通过分段线性决策规则提升近似质量，其边界优于现有方案。
• 通过共正性规划的半定规划重表述，提供一种可计算的解法框架。

提出的方法

• 通过分段线性提升方法构建升维的不确定参数空间，特别聚焦于第一坐标轴以实现结构简化。
• 对升维后的不确定参数应用线性决策规则，将问题转化为半无限线性规划。
• 通过在升维锥集上使用完全正矩阵锥，将最坏情况子问题重表述为完全正规划。
• 通过用有效且可半定表示的外逼近替代完全正锥，推导出可计算的半定松弛。
• 利用锥对偶性和标准松弛技术，获得最坏情况最大化问题的有限、可解重表述。
• 将方法推广至多个坐标轴，确保其适用于更广泛的MSRO公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 分段线性决策规则能否系统性地整合到多阶段鲁棒优化中，以超越线性规则的解质量？
• RQ2 如何利用共正性规划为非固定资源的MSRO推导出更紧致的保守近似？
• RQ3 与现有方案（如截断或分离的线性决策规则）相比，所提近似的紧致性如何？
• RQ4 所得到的优化问题能否在不牺牲解质量的前提下重表述为可计算的半定规划？
• RQ5 对不确定性集进行升维对决策规则近似质量有何影响？

主要发现

• 所提出的分段线性决策规则方案在紧致性上优于现有最先进方法，包括截断和分离的线性规则。
• 通过最坏情况子问题的共正性规划重表述，实现了可证明的边界改进。
• 所得半定松弛为最坏情况目标提供了有效上界，且通过锥对偶性实现了有限且可计算的重表述。
• 对完全正锥的外逼近带来了计算高效的解法，其可扩展性优于多项式决策规则层级。
• 数值实验表明，该方法在最优性间隙和计算效率方面均表现出优越性。
• 该方法可推广至目标系数、资源矩阵和右端项均存在不确定性的场景，不限于固定资源设定。