[论文解读] Improved Deterministic Distributed Matching via Rounding

Manuela Fischer|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 23

一句话总结

本文提出了一种用于线性规划的新型确定性分布式舍入方法，使分布式网络中的匹配问题能够实现更快、更高效的算法。该方法实现了首个 O(log²∆·log n)-轮确定性最大匹配算法，并显著降低了局部计算算法（LCAs）的查询复杂度，同时为最大匹配和加权 b-匹配问题提供了更快的 (2+ε)-近似算法。

ABSTRACT

We present improved deterministic distributed algorithms for a number of well-studied matching problems, which are simpler, faster, more accurate, and/or more general than their known counterparts. The common denominator of these results is a deterministic distributed rounding method for certain linear programs, which is the first such rounding method, to our knowledge. A sampling of our end results is as follows. - An O(log^2 Delta log n)-round deterministic distributed algorithm for computing a maximal matching, in n-node graphs with maximum degree Delta. This is the first improvement in about 20 years over the celebrated O(log^4 n)-round algorithm of Hanckowiak, Karonski, and Panconesi [SODA'98, PODC'99]. - A deterministic distributed algorithm for computing a (2+epsilon)-approximation of maximum matching in O(log^2 Delta log(1/epsilon) + log^* n) rounds. This is exponentially faster than the classic O(Delta + log^* n)-round 2-approximation of Panconesi and Rizzi [DIST'01]. With some modifications, the algorithm can also find an epsilon-maximal matching which leaves only an epsilon-fraction of the edges on unmatched nodes. - An O(log^2 Delta log(1/epsilon) + log^* n)-round deterministic distributed algorithm for computing a (2+epsilon)-approximation of a maximum weighted matching, and also for the more general problem of maximum weighted b-matching. These improve over the O(log^4 n log_(1+epsilon) W)-round (6+epsilon)-approximation algorithm of Panconesi and Sozio [DIST'10], where W denotes the maximum normalized weight. - A deterministic local computation algorithm for a (2+epsilon)-approximation of maximum matching with 2^O(log^2 Delta) log^* n queries. This improves almost exponentially over the previous deterministic constant approximations which have query-complexity of 2^Omega(Delta log Delta) log^* n.

研究动机与目标

• 为特定线性规划的分数解开发一种确定性分布式舍入方法。
• 改进确定性分布式算法在最大匹配及相关问题上的轮复杂度。
• 在分布式环境中实现更快的 (2+ε)-近似最大匹配和加权 b-匹配算法。
• 降低确定性局部计算算法（LCAs）在最大匹配问题上的查询复杂度。
• 弥合随机化与确定性分布式算法在基础图问题上的差距。

提出的方法

• 提出一种针对线性规划中分数匹配的新型确定性分布式舍入技术。
• 采用迭代舍入：反复计算近似 b-匹配，并移除已匹配边和容量为零的顶点。
• 利用图的 2-分解以降低度数，实现在 O(1) 轮内高效局部计算。
• 通过节点分裂将问题约化为二分图，以处理一般图和 b-匹配问题。
• 在每次迭代中利用辅助加权图的常数近似算法，构建 (2+ε)-近似解。
• 通过标准模拟技术将该方法适配至局部计算算法（LCAs），并实现更低的查询复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为与匹配问题相关的线性规划分数解类开发一种确定性分布式舍入方法？
• RQ2 在 LOCAL 模型中，确定性最大匹配的最优轮复杂度是多少？
• RQ3 能否显著快于 O(∆+log*n) 轮计算出最大匹配的 (2+ε)-近似算法？
• RQ4 如何降低确定性 LCAs 在最大匹配问题上的查询复杂度？
• RQ5 该舍入框架能否扩展至加权和 b-匹配问题？

主要发现

• 本文首次提出了一类线性规划的确定性分布式舍入方法，推动了新算法的进展。
• 实现了 O(log²∆·log n)-轮确定性最大匹配算法，优于 20 年前的 O(log⁴n) 边界。
• (2+ε)-近似最大匹配算法在 O(log²∆·log(1/ε)+log*n) 轮内完成，相比先前的 O(∆+log*n) 方法呈指数级加速。
• 对于最大加权 b-匹配，算法在 O(log²∆·log(1/ε)+log*n) 轮内运行，优于先前的 O(log⁴n·log¹⁺εW) 边界。
• 针对 (2+ε)-近似最大匹配的 LCA 查询复杂度为 2^O(log²∆)·log*n，相比先前的 2^Ω(∆·log∆)·log*n 边界实现指数级改进。
• 该方法还通过 ε-最大匹配为边支配集提供了 (2+ε)-近似解，边覆盖的额外误差较小。