[论文解读] Improved Fast Iterative Algorithm for Eikonal Equation for GPU Computing

Yuhao Huang|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2021

Numerical Methods and Algorithms参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文提出了一种改进的快速迭代法（iFIM），通过在值更新过程中消除收敛性检查，并引入独立的修正步骤来纠正误差，从而在GPU上求解Eikonal方程。该方法由于高效利用SIMD架构并减少对排序结构的依赖，其GPU并行实现性能优于FIM、FMM和FSSM。

ABSTRACT

In this paper we propose an improved fast iterative method to solve the Eikonal equation, which can be implemented in parallel. We improve the fast iterative method for Eikonal equation in two novel ways, in the value update and in the error correction. The new value update is very similar to the fast iterative method in that we selectively update the points, chosen by a convergence measure, in the active list. However, in order to reduce running time, the improved algorithm does not run a convergence check of the neighboring points of the narrow band as the fast iterative method usually does. The additional error correction step is to correct the errors that the previous value update step may cause. The error correction step consists of finding and recalculating the point values in a separate remedy list which is quite easy to implement on a GPU. In contrast to the fast marching method and the fast sweeping method for the Eikonal equation, our improved method does not need to compute the solution with any special ordering in neither the remedy list nor the active list. Therefore, our algorithm can be implemented in parallel. In our experiments, we implemente our new algorithm in parallel on a GPU and compare the elapsed time with other current algorithms. The improved fast iterative method runs faster than the other algorithms in most cases through our numercal studies.

研究动机与目标

• 开发一种可并行化的Eikonal方程求解算法，使其在GPU架构上的性能优于现有方法。
• 消除快速迭代法（FIM）中计算开销大的收敛性检查，以克服并行化障碍。
• 引入独立的修正列表，用于纠正值更新过程中引入的误差，从而实现高效的GPU执行。
• 通过避免排序和顺序依赖，实现在GPU环境中性能优于快速行进法（FMM）和快速扫掠法（FSSM）。
• 利用现代GPU流式多处理器实现可扩展的数据并行计算，求解Eikonal方程。

提出的方法

• 改进的快速迭代法（iFIM）使用活动列表根据收敛性度量选择点进行值更新，类似于FIM，但省略了对邻点的收敛性检查。
• 在更新步骤后引入一个新的修正列表，用于识别并重新计算具有残差误差的点，从而实现在并行环境下的误差纠正。
• 该算法避免维护排序数据结构（如堆排序），这与SIMD执行不兼容，从而提升了GPU并行性。
• 局部求解器采用一阶Godunov迎风有限差分格式对Eikonal方程进行离散化，每个网格点求解二次方程。
• 该方法利用可配置线程块的GPU内核启动，通过调整每个块的线程数来优化内存聚合度和占用率。
• 修正步骤作为独立内核实现，通过简单的误差阈值检查，高效定位并纠正错误点。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不降低解精度的前提下，从快速迭代法的收敛性检查步骤中移除？
• RQ2 在并行GPU环境中，如何高效纠正早期更新导致的误差传播？
• RQ3 能否设计一种不依赖排序或顺序排列的GPU优化Eikonal求解器？
• RQ4 在GPU并行环境中，移除收敛性检查并增加修正步骤能带来多大的性能提升？
• RQ5 在各种Eikonal问题配置下，iFIM算法在速度和精度上与FMM、FSSM和FIM相比如何？

主要发现

• iFIM算法在GPU上始终比原始FIM运行得更快，性能提升主要归因于内核开销减少和内存访问模式更优。
• 快速行进法（FMM）显著慢于iFIM，原因在于其使用了堆排序数据结构，该结构不适用于GPU并行化。
• 对于可变速度函数，FMM性能进一步下降，因为堆操作增加，而iFIM则保持高效率。
• 修正步骤成功纠正了更新阶段引入的误差，通过与精确解的视觉和定量比较（示例2和5）得到验证。
• iFIM的最佳性能通过调整每个块的线程数实现，图12显示在N=2000²网格下，特定线程数时性能达到明显峰值。
• iFIM在GPU上实际实现O(N)复杂度，优于FMM的O(N log N)，并达到FSSM的理论效率，同时更易于并行化。