[论文解读] Improved GM(1,1) model based on Simpson formula and its applications

Xin Ma, Wenqing Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2019

Grey System Theory Applications参考文献 28被引用 55

一句话总结

Introduces a discrete GM(1,1) model GM_SD(1,1) that uses Simpson's formula for the background value, derives its time response and IAGO, proves unbiasedness for homogeneous exponent sequences, and demonstrates superior forecasts over GM(1,1), DGM(1,1), and GM_SC(1,1) in multiple case studies.

ABSTRACT

The classical GM(1,1) model is an efficient tool to {make accurate forecasts} with limited samples. But the accuracy of the GM(1,1) model still needs to be improved. This paper proposes a novel discrete GM(1,1) model, named ${ m GM_{SD}}$(1,1) model, of which the background value is reconstructed using Simpson formula. The expression of the specific time response function is deduced, and the relationship between our model} and the continuous GM(1,1) model with Simpson formula called ${ m GM_{SC} }$(1,1) model is systematically discussed. The proposed model is proved to be unbiased to simulate the homogeneous exponent sequence. Further, some numerical examples are given to validate the accuracy of the new ${ m GM_{SD}}$(1,1) model. Finally, this model is used to predict the Gross Domestic Product and the freightage of Lanzhou, and the results illustrate the ${ m GM_{SD}}$(1,1) model provides accurate prediction.

研究动机与目标

• 通过使用辛普森公式重新定义背景值，在数据有限的情况下提高 GM(1,1) 预测的准确性。
• 推导离散 GM_SD(1,1) 的时间响应与 IAGO 还原公式。
• 分析 GM_SD(1,1) 与 GM_SC(1,1) 连续模型的关系与差异。
• 证明 GM_SD(1,1) 对齐齐性指数序列的无偏性。
• 通过数值实验和实际数据应用验证模型。

提出的方法

• 推导背景值采用辛普森数值积分的离散 GM(1,1) 模型（式3.1至3.3）。
• 通过对基于辛普森背景的最小二乘估计得到参数 a 和 b（式 30）。
• 计算一阶 AGO 序列并应用一阶 IAGO 得到原序列的模拟值与预测值（式 26）。
• 通过分析时间响应与差分方程的一致性来比较 GM_SD(1,1) 与 GM_SC(1,1)（式40–43）。
• 通过解析推导证明对齐齐性指数序列的无偏性（式58）。
• 使用 APE 和 MAPE 指标评估预测精度（式59–60），并进行数值与实际数据验证（第4-5节）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 GM(1,1) 中基于辛普森背景重建是否能提升小样本的预测精度？
• RQ2 在仿真与实际数据中，GM_SD(1,1) 与 GM_SC(1,1) 及其他灰色模型的比较如何？
• RQ3 离散 GM_SD(1,1) 对齐齐性指数序列是否无偏？
• RQ4 使用辛普森背景值对稳定性和预测性能的影响是什么？
• RQ5 在 GDP 和货运预测中，GM_SD(1,1) 能否优于 GM(1,1) 和 DGM(1,1)？

主要发现

• 在齐次指数测试中，GM_SD(1,1) 提供高精度的仿真与预测，数值误差极低。
• 在 GDP 预测中，GM_SD(1,1) 的 MAPE 小于四个对比灰色模型（平均仿真与预测误差）。
• 在兰州 GDP 及货运案例研究中，GM_SD(1,1) 优于 GM(1,1)、DGM(1,1) 和 GM_SC(1,1)。
• 在仿真中，GM_SD(1,1 在许多步骤上给出接近零的 APE，并在 GM_SC(1,1 可能失稳的参数范围内表现出稳定性。
• 该方法在实际数据（用电量示例）上显示出显著的预测精度提升，并提供扩展到 GM(1,n) 与 GMC(1,n) 的框架。
• 在报道的应用中，MAPE_over 与 MAPE_pred 对 GM_SD(1,1 一直更有利。