[论文解读] Improved Hardness for Cut, Interdiction, and Firefighter Problems

Euiwoong Lee|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2016

Mechanical Behavior of Composites参考文献 24被引用 10

一句话总结

该论文在唯一博弈猜想（UGC）下，为基本的图割分和干扰问题建立了改进的近似困难结果。通过引入一种新颖的长度控制字典测试框架，证明了有向多割、长度受限割、最短路径干扰以及资源最小化防火灾防控问题的紧致或超常数近似困难界限，与先前最佳因子相匹配或超越。

ABSTRACT

We study variants of the classic $s$-$t$ cut problem and prove the following improved hardness results assuming the Unique Games Conjecture (UGC). - For any constant $k \geq 2$ and $ε> 0$, we show that Directed Multicut with $k$ source-sink pairs is hard to approximate within a factor $k - ε$. This matches the trivial $k$-approximation algorithm. By a simple reduction, our result for $k = 2$ implies that Directed Multiway Cut with two terminals (also known as $s$-$t$ Bicut) is hard to approximate within a factor $2 - ε$, matching the trivial $2$-approximation algorithm. Previously, the best hardness factor for these problems (for constant $k$) was $1.5 - ε$ under the UGC. - For Length-Bounded Cut and Shortest Path Interdiction, we show that both problems are hard to approximate within any constant factor, even if we allow bicriteria approximation. If we want to cut vertices or the graph is directed, our hardness factor for Length-Bounded Cut matches the best approximation ratio up to a constant. Previously, the best hardness factor was $1.1377$ for Length-Bounded Cut and $2$ for Shortest Path Interdiction. - Assuming a variant of the UGC (implied by another variant of Bansal and Khot), we prove that it is hard to approximate Resource Minimization Fire Containment within any constant factor. Previously, the best hardness factor was $2$. Our results are based on a general method of converting an integrality gap instance to a length-control dictatorship test for variants of the $s$-$t$ cut problem, which may be useful for other problems.

研究动机与目标

• 弥合关键图割问题中已知近似算法与最佳已知近似困难因子之间的差距。
• 开发一种通用方法，将LP整数规划间隙实例转化为具有结构约束的割分问题的困难结果。
• 在唯一博弈猜想下，证明有向多割、长度受限割和最短路径干扰问题的最优或超常数近似困难性。
• 通过UGC的一个变体，将困难结果扩展到资源最小化防火灾防控问题。

提出的方法

• 设计一种长度控制字典测试，保留割分问题的结构约束，从而实现从LP整数规划间隙到困难性的归约。
• 使用带有标签顶点和边的双正则唯一博弈实例，以模拟路径长度和割权重约束。
• 应用影响和展开性论证，识别出具有高阶影响的‘好’顶点，确保字典测试中的标签一致性。
• 基于度数影响阈值构建一种标记策略，以在归约中实现完备性和可靠性。
• 利用唯一博弈猜想，将标准LP松弛的整数规划间隙实例转化为具有匹配间隙的NP难问题。
• 通过针对路径长度、顶点/边移除和连通性约束进行定制化构造，将该框架应用于多个问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在UGC下，是否可以将割分问题标准LP松弛的整数规划间隙转化为紧致近似困难结果？
• RQ2 即使在双准则近似下，是否仍能为长度受限割和最短路径干扰问题实现超常数近似困难性？
• RQ3 在UGC下，具有k个源-汇对的有向多割问题的最优近似困难因子是多少？
• RQ4 该框架是否可扩展至资源最小化防火灾防控等缺乏强近似困难结果的問題？
• RQ5 UGC的一个变体是否意味着资源最小化防火灾防控问题具有常数因子近似困难性？

主要发现

• 具有k个源-汇对的有向多割问题，对任意ε>0，难以在k−ε因子内近似，与平凡的k-近似相匹配。
• 当k=2时，这表明s-t双割问题难以在2−ε因子内近似，与平凡的2-近似相匹配。
• 长度受限割和最短路径干扰问题即使在双准则近似下，也难以在任何常数因子内近似。
• 长度受限割的困难因子与目前已知的最佳近似比至多相差一个常数，优于先前的下限1.1377。
• 在UGC的一个变体下，资源最小化防火灾防控问题难以在任何常数因子内近似，优于先前的最佳因子2。
• 所提出的长度控制字典测试框架可应用于多个割分问题，为从LP整数规划间隙推导困难性提供了一般性方法。