[论文解读] Improved hardness for H-colourings of G-colourable graphs

Marcin Wrochna, Stanislav Živný|Oxford University Research Archive (ORA) (University of Oxford)|Jul 1, 2019

Advanced Graph Theory Research被引用 6

一句话总结

本文通过证明对所有 $k /geq 4$，仅使用 $\binom{k}{\floor{k/2}} - 1$ 种颜色对 $k$-可图染色图进行近似染色是 NP-难的，建立了图 $G$-可染色图的近似 $H$-染色问题的新 NP-难结果，显著改进了以往的指数差距和线性差距。此外，本文进一步证明，仅通过 $H$ 的盒子复形的拓扑结构即可决定 $G$-可染色图的 $H$-染色是否为 NP-难，利用伴随函子和基本群论证统一并扩展了先前的结果。

ABSTRACT

We present new results on approximate colourings of graphs and, more generally, approximate H-colourings and promise constraint satisfaction problems. First, we show NP-hardness of colouring $k$-colourable graphs with $\binom{k}{\lfloor k/2 floor}-1$ colours for every $k\geq 4$. This improves the result of Bulín, Krokhin, and Opršal [STOC'19], who gave NP-hardness of colouring $k$-colourable graphs with $2k-1$ colours for $k\geq 3$, and the result of Huang [APPROX-RANDOM'13], who gave NP-hardness of colouring $k$-colourable graphs with $2^{k^{1/3}}$ colours for sufficiently large $k$. Thus, for $k\geq 4$, we improve from known linear/sub-exponential gaps to exponential gaps. Second, we show that the topology of the box complex of H alone determines whether H-colouring of G-colourable graphs is NP-hard for all (non-bipartite, H-colourable) G. This formalises the topological intuition behind the result of Krokhin and Opršal [FOCS'19] that 3-colouring of G-colourable graphs is NP-hard for all (3-colourable, non-bipartite) G. We use this technique to establish NP-hardness of H-colouring of G-colourable graphs for H that include but go beyond $K_3$, including square-free graphs and circular cliques (leaving $K_4$ and larger cliques open). Underlying all of our proofs is a very general observation that adjoint functors give reductions between promise constraint satisfaction problems.

研究动机与目标

• 通过证明更强的不可解性结果，弥合近似图染色问题中已知多项式时间算法与 NP-难性之间的差距。
• 基于 $H$ 的拓扑性质，刻画 $G$-可染色图的 $H$-染色问题的 NP-难性。
• 将 $G$-可染色图的 3-染色问题的 NP-难性推广到更广泛的 $H$ 类别，包括无平方图和环形完全图。
• 利用伴随函子和基本群同态建立一个通用框架，以推导 PCSP 之间的约化。
• 阐明盒子复形拓扑在决定非二分图 $H$ 的 $H$-染色问题复杂性中的作用。

提出的方法

• 利用伴随函子在承诺约束满足问题之间构造约化，实现不同 PCSP 实例间困难性的转移。
• 使用商空间 $|\mathrm{Box}(H)|_{/\mathbb{Z}_2}$ 的基本群分析是否存在到 $\mathcal{S}^1$ 的 $\mathbb{Z}_2$-映射，该条件刻画了 NP-难性的拓扑特征。
• 应用覆盖空间理论证明：从 $|\mathrm{Hom}(K_2, H)|$ 到 $\mathcal{S}^1$ 存在 $\mathbb{Z}_2$-映射，当且仅当存在一个群同态 $f: \pi_1(|\mathrm{Box}(H)|_{/\mathbb{Z}_2}) \to \mathbb{Z}$，且该同态保持 $\mathbb{Z}_2$-作用。
• 从组合角度定义边路径群为模去回溯和 4-环的闭行走等价类，为 $|\mathrm{Box}(H)|_{/\mathbb{Z}_2}$ 的基本群提供具体实现。
• 证明：若此类同态存在，则 $\mathrm{Pol}(C_n, H)$ 允许到一个有界本质极小性的类的类同态，从而推出 $\mathrm{PCSP}(C_n, H)$ 的 NP-难性。
• 利用 $|\mathrm{Hom}(K_2, H)|$ 与 $|\mathrm{Box}(H)|$ 的 $\mathbb{Z}_2$-同伦等价性，说明该拓扑条件等价于存在到 $\mathcal{S}^1$ 的 $\mathbb{Z}_2$-映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $k$ 值，仅使用 $\binom{k}{\floor{k/2}} - 1$ 种颜色对 $k$-可染色图进行染色是 NP-难的？
• RQ2 能否仅通过 $H$ 的盒子复形的拓扑结构来刻画 $G$-可染色图的 $H$-染色问题的 NP-难性？
• RQ3 从 $|\mathrm{Hom}(K_2, H)|$ 到 $\mathcal{S}^1$ 的 $\mathbb{Z}_2$-映射的存在性是否完全决定了所有非二分图 $H$-可染色图 $G$ 的 $\mathrm{PCSP}(G, H)$ 是否为 NP-难？
• RQ4 伴随函子和基本群同态如何在承诺约束满足问题的背景下实现 PCSP 之间的约化？
• RQ5 盒子复形及其基本群在决定 $K_4$、环形完全图和无平方图等 $H$ 的 $H$-染色问题复杂性中起什么作用？

主要发现

• 对所有 $k \geq 4$，仅使用 $\binom{k}{\floor{k/2}} - 1$ 种颜色对 $k$-可染色图进行染色是 NP-难的，相较于色数实现了指数级差距。
• $G$-可染色图的 $H$-染色问题的 NP-难性对所有非二分图 $H$-可染色图 $G$ 完全由 $H$ 的盒子复形的拓扑结构决定：具体而言，即 $|\mathrm{Hom}(K_2, H)|$ 到 $\mathcal{S}^1$ 存在 $\mathbb{Z}_2$-映射。
• 该结果将 $G$-可染色图的 3-染色问题的 NP-难性推广到所有满足 $|\mathrm{Hom}(K_2, H)|$ 存在到 $\mathcal{S}^1$ 的 $\mathbb{Z}_2$-映射的 $H$，包括无平方图和环形完全图。
• 对于 $H = K_4$，$|\mathrm{Box}(H)|_{/\mathbb{Z}_2}$ 的基本群为 $\mathbb{Z}_2$，到 $\mathbb{Z}$ 的唯一可能群同态在奇偶性上为平凡，因此该方法无法判断其 NP-难性，导致 $K_4$ 仍为开放问题。
• 存在一个保持 $\mathbb{Z}_2$-作用的群同态 $f_*: \pi_1(|\mathrm{Box}(H)|_{/\mathbb{Z}_2}) \to \mathbb{Z}$，是存在到 $\mathcal{S}^1$ 的 $\mathbb{Z}_2$-映射的充要条件，从而提供了完全的拓扑刻画。
• 伴随函子的使用为 PCSP 之间的约化提供了一个通用框架，统一并扩展了约束满足问题代数理论中的先前结果。