[论文解读] Improved invariant polytope algorithm and applications

Thomas Mejstrik|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2018

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 28被引用 8

一句话总结

本文提出了一种显著优化的不变多面体算法，用于计算联合谱半径（JSR），在单线程性能上实现了高达3倍的加速，并支持并行化。该方法结合了改进的Gripenberg算法以快速获得下界，以及增强的Minkowski范数计算，实现了对维度高达25的矩阵族和非负矩阵高达3000维的精确JSR计算，应用于Daubechies小波正则性与码容量问题。

ABSTRACT

In several papers of 2013 - 2016, Guglielmi and Protasov made a breakthrough in the problem of the joint spectral radius computation, developing the invariant polytope algorithm which for most matrix families finds the exact value of the joint spectral radius. This algorithm found many applications in problems of functional analysis, approximation theory, combinatorics, etc.. In this paper we propose a modification of the invariant polytope algorithm making it roughly 3 times faster and suitable for higher dimensions. The modified version works for most matrix families of dimensions up to 25, for non-negative matrices the dimension is up to three thousand. Besides we introduce a new, fast algorithm for computing good lower bounds for the joint spectral radius. The corresponding examples and statistics of numerical results are provided. Several applications of our algorithms are presented. In particular, we find the exact values of the regularity exponents of Daubechies wavelets of high orders and the capacities of codes that avoid certain difference patterns.

研究动机与目标

• 解决计算矩阵族联合谱半径（JSR）的计算困难问题，该问题在一般情况下被证明是NP难且不可判定的。
• 提升不变多面体算法的效率与可扩展性，该算法是目前少数能够对许多矩阵族精确计算JSR的方法之一。
• 实现高维计算（最高达25维）与并行执行，扩展该算法的实际适用范围。
• 开发一种快速、可靠的JSR下界计算方法，以支持实时计算应用，并提升主算法的收敛速度。

提出的方法

• 通过改进的线性规划技术与减少计算开销，优化不变多面体算法中Minkowski范数的计算。
• 提出一种改进的Gripenberg算法，通过贪心迭代方法高效搜索谱最大乘积（s.m.p.s），以提供JSR的强下界。
• 使用共享内存并行模型实现改进的不变多面体算法的并行化，从而在多核系统上实现更快的计算性能。
• 利用极值范数与矩阵轨道像的凸包构造不变多面体，使算法迭代过程收敛至JSR。
• 将该算法应用于计算小波理论与编码理论中出现的矩阵族的精确JSR值，验证其性能与准确性。
• 将改进的Gripenberg算法作为快速预处理器，用于在运行完整不变多面体算法前识别候选s.m.p.s。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过算法级与实现级优化，能否显著加速不变多面体算法？
• RQ2 改进的Gripenberg算法在多大程度上能可靠地识别谱最大乘积（s.m.p.s）并为JSR提供紧致下界？
• RQ3 改进的不变多面体算法在多大维度下仍能高效计算精确的JSR？
• RQ4 改进的Gripenberg算法与优化后的不变多面体算法的结合，在小波正则性与码容量等实际应用中效果如何？
• RQ5 不变多面体算法能否有效并行化以利用现代多核架构？

主要发现

• 与原始版本相比，改进的不变多面体算法在单线程性能上实现了3倍加速。
• 该算法成功计算出维度高达25的矩阵族的精确JSR，部分情形可扩展至40维。
• 对于非负矩阵，该算法可扩展至高达3000维，展现出广泛的适用性。
• 改进的Gripenberg算法在极短时间内即可计算出精确的JSR下界，通常能实际识别出正确的s.m.p.。
• 作者计算出Daubechies小波至42阶的精确正则性指数，解决了长期存在的开放问题。
• 该算法计算出避免特定差分模式的码的精确容量，展示了在编码理论中的实用性。