[论文解读] Improved Liouville theorems for axially symmetric Navier-Stokes equations

Zhen Lei, Qi S Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文建立了二维和三维轴对称无涡旋（无旋）Navier-Stokes 方程古老解的精确Liouville定理，证明若涡度在无穷远处足够快衰减，则次线性速度场必为常数。对于具有非平凡涡旋的解，若涡旋量 $\Gamma = r v_\theta$ 属于 $L^\infty_t L^p_x$（$1 \leq p < \infty$），或在无穷远处一致衰减，则有界古老温和解必为常数。

ABSTRACT

In this paper, we consider the Liouville property for ancient solutions of the incompressible Navier-Stokes equations. In 2D and the 3D axially symmetric case without swirl, we prove sharp Liouville theorems for smooth ancient mild solutions: velocity fields $v$ are constants if vorticity fields satisfy certain condition and $v$ are sublinear with respect to spatial variables, and we also give counterexamples when $v$ are linear with respect to spatial variables. The condition which vorticity fields need to satisfy is $\lim\limits_{|x| ightarrow +\infty}|w(x,t)|=0$ and $\lim\limits_{r ightarrow +\infty}\frac{|w|}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}=0$ uniformly for all $t\in(-\infty,0)$ in 2D and 3D axially symmetric case without swirl, respectively. In the case when solutions are axially symmetric with nontrivial swirl, we prove that if $Γ=rv_θ\in L^\infty_tL^p_x(\mathbb{R}^3 imes(-\infty,0))$ where $1\leq p

研究动机与目标

• 建立不可压缩Navier-Stokes方程在轴对称情形下古老解的精确Liouville型定理。
• 确定有界或次线性古老温和解必须为常数的条件，尤其在无涡旋或存在涡旋的情形下。
• 通过引入涡度衰减条件或涡旋分量 $\Gamma = r v_\theta$ 的可积性条件，拓展现有的Liouville结果。
• 解决轴对称Navier-Stokes流中古老解正则性与分类的开放问题。
• 提供反例表明线性速度增长会破坏Liouville性质，从而验证条件的精确性。

提出的方法

• 分析二维和三维轴对称Navier-Stokes方程的古老温和解，包括有无涡旋的情形。
• 对涡度施加衰减条件：$\lim_{|x|\to\infty} |\omega(x,t)| = 0$ 且 $\lim_{r\to\infty} \frac{|\omega|}{r} = 0$ 对所有 $t \leq 0$ 一致成立。
• 对于具有非平凡涡旋的解，假设 $\Gamma = r v_\theta \in L^\infty_t L^p_x(\mathbb{R}^3 \times (-\infty,0))$，其中 $1 \leq p < \infty$。
• 在区域 $\mathbb{R}^3 \setminus \{r=0\}$ 上对量 $\Gamma$ 应用最大值原理，利用其抛物型结构。
• 通过缩放技术结合紧致性与爆破论证，推导解的极限，证明 $\Gamma$ 的非平凡最大值/最小值将导致矛盾。
• 结合强最大值原理与在 $r=0$ 处的连续性（此处 $\Gamma \equiv 0$），得出 $\Gamma \equiv 0$，从而推出 $v_\theta \equiv 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种涡度衰减条件下，轴对称Navier-Stokes方程的次线性古老温和解会退化为常数？
• RQ2 Liouville性质能否推广至具有非平凡涡旋的解？$\Gamma = r v_\theta$ 的何种可积性条件可保证解为常数？
• RQ3 在无涡旋情形下，条件 $\lim_{r\to\infty} \frac{|\omega|}{r} = 0$ 是否对Liouville定理是精确的？
• RQ4 当速度场在空间中呈线性增长时会发生什么？此类解是否可能非平凡？这对Liouville性质有何影响？
• RQ5 在有涡旋的轴对称情形下，假设 $\Gamma \in L^\infty_t L^p_x$（$1 \leq p < \infty$）是否足以迫使有界古老解为常数？

主要发现

• 在二维和三维轴对称无涡旋情形下，若涡度满足 $\lim_{|x|\to\infty} |\omega(x,t)| = 0$ 且 $\lim_{r\to\infty} \frac{|\omega|}{r} = 0$ 对所有 $t \leq 0$ 一致成立，则任意光滑古老温和解若具有次线性速度，则必为常数。
• 对于具有非平凡涡旋的轴对称解，若 $\Gamma = r v_\theta \in L^\infty_t L^p_x(\mathbb{R}^3 \times (-\infty,0))$（$1 \leq p < \infty$），则任意有界古老温和解必为常数。
• 本文提供了反例，表明若速度场在空间中呈线性增长，则Liouville性质不成立，从而验证了次线性增长条件的精确性。
• 若 $\Gamma$ 在无穷远处一致衰减，即 $\lim_{r\to\infty} \Gamma = 0$ 对所有 $t$ 一致成立，则有界古老温和解为常数，即使不满足 $L^p$ 可积性条件亦然。
• 证明依赖于对 $\Gamma$ 应用最大值原理，表明非零最大值或最小值将因 $r=0$ 处的边界行为而产生矛盾。
• 通过结合缩放论证与强最大值原理，作者证明在 $(-\infty,0) \times \mathbb{R}^3$ 上恒有 $\Gamma \equiv 0$，从而推出 $v_\theta \equiv 0$，使问题简化为已知结果成立的无涡旋情形。