[论文解读] Improved List-Decodability of Random Linear Binary Codes

Ray Li, Mary Wootters|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 34被引用 5

一句话总结

该论文通过证明随机线性二元码以高概率具有 (p, H(p)/ε + 2) 列表可译码性，改进了其列表译码性能，优于均匀随机码。作者将 Guruswami 等人（2002 年）的经典存在性论证强化为以高概率成立，从而获得统一且简洁的分析方法，适用于所有 p ∈ (0, 1/2) 和 ε > 0，并证明随机线性码的列表大小严格小于随机码。

ABSTRACT

There has been a great deal of work establishing that random linear codes are as list-decodable as uniformly random codes, in the sense that a random linear binary code of rate 1 - H(p) - epsilon is (p,O(1/epsilon))-list-decodable with high probability. In this work, we show that such codes are (p, H(p)/epsilon + 2)-list-decodable with high probability, for any p in (0, 1/2) and epsilon > 0. In addition to improving the constant in known list-size bounds, our argument - which is quite simple - works simultaneously for all values of p, while previous works obtaining L = O(1/epsilon) patched together different arguments to cover different parameter regimes. Our approach is to strengthen an existential argument of (Guruswami, Håstad, Sudan and Zuckerman, IEEE Trans. IT, 2002) to hold with high probability. To complement our upper bound for random linear binary codes, we also improve an argument of (Guruswami, Narayanan, IEEE Trans. IT, 2014) to obtain a tight lower bound of 1/epsilon on the list size of uniformly random binary codes; this implies that random linear binary codes are in fact more list-decodable than uniformly random binary codes, in the sense that the list sizes are strictly smaller. To demonstrate the applicability of these techniques, we use them to (a) obtain more information about the distribution of list sizes of random linear binary codes and (b) to prove a similar result for random linear rank-metric codes.

研究动机与目标

• 改进已知的随机线性二元码列表译码界，特别是 O(1/ε) 列表大小界中的常数。
• 统一并简化以往局限于特定参数范围或产生次优界的研究分析。
• 通过建立更紧的列表大小上界，证明随机线性码比均匀随机码具有更强的列表可译码性。
• 将改进的分析方法扩展至随机线性秩距离码，证明类似的性能提升。

提出的方法

• 将 Guruswami 等人（2002 年）的存在性论证改编为以高概率成立，利用概率集中不等式和矩矩不等式。
• 定义并分析量 SC = 1 + TC，其中 TC 统计半径为 pn 的汉明球内的码字数量，以控制列表大小。
• 使用递推序列 δi = 2δi−1 + δi−1^{1.5} 跟踪 TC 的集中性，证明其以高概率保持亚常数。
• 通过在一系列子空间上应用马尔可夫不等式和联合界，控制随机线性码构造过程中 TC 的增长。
• 证明 SC < 2 蕴含 (p, L)-列表可译码性，且 L ≤ H(p)/ε + 2，利用指数矩不等式和反证法。
• 通过在矩阵空间中重新定义球体大小并使用类似的集中性论证，将该方法扩展至秩距离码。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过统一的分析方法，将随机线性二元码的列表译码性能提升至 O(1/ε) 列表大小以下，且常数更小？
• RQ2 是否可能将 Guruswami 等人（2002 年）的存在性论证强化为以高概率成立？
• RQ3 随机线性码是否实现严格小于均匀随机码的列表大小？
• RQ4 该高概率分析方法能否扩展至随机线性秩距离码？

主要发现

• 以高概率，速率 1 − H(p) − ε 的随机线性二元码是 (p, H(p)/ε + 2)-列表可译码的，优于先前的 O(1/ε) 界，且常数更小。
• 该分析统一适用于所有 p ∈ (0, 1/2)，而以往工作需针对不同参数区间拼接不同论证。
• 通过将后者列表大小的下界提升至 1/ε，证明了随机线性码的列表大小严格小于均匀随机码。
• 该方法可扩展至随机线性秩距离码，证明其以高概率为 (p, p + bp − bp²)/ε + 2-列表可译码。
• 该方法将 Guruswami 等人（2002 年）的存在性论证强化为以高概率成立，解决了该工作中遗留的开放问题。
• 结果表明，随机线性码在列表译码中不仅不逊于随机码，反而更优，其列表大小可被严格证明更小。