[论文解读] Improved Low-qubit Hidden Shift Algorithms

Xavier Bonnetain|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用 4

一句话总结

该论文通过整合子集和算法，改进了Childs、Jao和Soukharev的量子隐式位移算法，显著降低了查询和时间复杂度。其关键成果是将量子查询成本相比先前工作降低了最多4.5倍，同时在量子查询、经典时间和内存之间建立了新的权衡，尤其在后量子安全应用的二次间隙假设下表现突出。

ABSTRACT

Hidden shift problems are relevant to assess the quantum security of various cryptographic constructs. Multiple quantum subexponential time algorithms have been proposed. In this paper, we propose some improvements on a polynomial quantum memory algorithm proposed by Childs, Jao and Soukharev in 2010. We use subset-sum algorithms to significantly reduce its complexity. We also propose new tradeoffs between quantum queries, classical time and classical memory to solve this problem.

研究动机与目标

• 降低阿贝尔群中隐式位移问题的量子查询和经典时间复杂度。
• 改进Childs、Jao和Soukharev于2010年提出的量子算法，该算法在量子查询方面的复杂度为 $ L(\tfrac{1}{\tsqrt{2}}) $。
• 探索在子集和技术下，量子查询、经典时间与经典内存之间的新权衡，尤其在二次间隙假设下。
• 评估依赖隐式位移困难性的后量子密码方案的现实成本影响。
• 研究子集和算法是否可用于优化隐式位移算法中的组合过程。

提出的方法

• 将子集和算法集成到隐式位移算法的组合过程中，以减少所需的量子查询次数。
• 采用广义的例程结构，输入大小为 $ k_i = (i\alpha + \beta)\sqrt{n\log_2 n} $，以平衡查询与经典时间成本。
• 使用 $ L(c) $ 表示法，以子集和求解指数 $ c $ 表达渐近复杂度。
• 采用二次间隙策略，使量子查询成本为 $ L(\sqrt{c/3}) $，经典时间为 $ L(2\sqrt{c/3}) $，与Grover算法的权衡类似。
• 通过使用单个例程，实现 $ O(n^2) $ 次查询和 $ \widetilde{O}(2^{0.291n}) $ 的经典时间，当 $ c < 0.5 $ 时优于经典算法。
• 将该方法适配至多项式内存和内存密集型变体，并与Kuperberg和Regev等先前工作进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 子集和算法能否用于降低隐式位移问题的量子查询复杂度？
• RQ2 利用子集和技术，能否在量子查询、经典时间和经典内存之间实现新的权衡？
• RQ3 与先前的量子隐式位移算法相比，改进后算法在渐近复杂度和实际复杂度上的表现如何？
• RQ4 能否在保持亚指数复杂度的前提下，实现量子查询成本与经典时间成本之间的二次间隙？
• RQ5 在实际场景中，当 $ c < 0.5 $ 时，改进后的算法是否优于经典算法？

主要发现

• 改进后的算法将量子查询成本降低至 $ L(\sqrt{c}) $，其中 $ c $ 是求解子集和实例的指数。
• 在经典时间与量子查询成本之间实现二次间隙时，算法达到 $ L(\sqrt{c/3}) $ 的量子查询和 $ L(2\sqrt{c/3}) $ 的经典时间。
• 当 $ c = 0.291 $ 时，算法实现 $ \widetilde{O}(2^{0.291n}) $ 的经典时间与内存，在 $ c < 0.5 $ 时优于经典穷举搜索。
• 通过使用单个例程，实现 $ O(n^2) $ 次查询和 $ \widetilde{O}(2^{0.291n}) $ 的经典时间，该算法在 $ c < 0.5 $ 时优于目前已知的最佳经典算法。
• 与原始的Childs-Jao-Soukharev算法相比，该方法将查询复杂度指数降低了最多4.5倍。
• 该算法为后量子安全提供了改进的权衡，尤其适用于基于穷举搜索假设的NIST安全级别1、3和5。