[论文解读] Improved Lower Bounds for Sum Coloring via Clique Decomposition

Qinghua Wu, Jin‐Kao Hao|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2013

Scheduling and Timetabling Solutions参考文献 19被引用 10

一句话总结

本文提出 EXCLIQUE，一种启发式团分解方法，通过迭代提取图中最大数量的互不相交、尽可能大的团，以计算最小和图 coloring 问题（MSCP）的更紧下界。通过优先提取大而互不相交的团，该方法在14个基准实例上改进了下界，首次证明了4个实例的最优性，并为另外24个实例提供了首次已知的下界，显著优于以往基于团的方法在解质量上的表现。

ABSTRACT

Given an undirected graph $G = (V,E)$ with a set $V$ of vertices and a set $E$ of edges, the minimum sum coloring problem (MSCP) is to find a legal vertex coloring of $G$, using colors represented by natural numbers $1, 2, . . .$ such that the total sum of the colors assigned to the vertices is minimized. This paper describes an approach based on the decomposition of the original graph into disjoint cliques for computing lower bounds for the MSCP. Basically, the proposed approach identifies and removes at each extraction iteration a maximum number of cliques of the same size (the largest possible) from the graph. Computational experiments show that this approach is able to improve on the current best lower bounds for 14 benchmark instances, and to prove optimality for the first time for 4 instances. We also report lower bounds for 24 more instances for which no such bounds are available in the literature. These new lower bounds are useful to estimate the quality of the upper bounds obtained with various heuristic approaches.

研究动机与目标

• 开发一种更有效的最小和图 coloring 问题（MSCP）下界计算方法，该问题为计算上困难的 NP-完全问题。
• 通过最大化从图中提取的互不相交团的数量和大小，改进现有基于团分解的下界方法。
• 提供更紧的下界，以更准确评估 MSCP 解决方案中启发式上界的质量。
• 为此前文献中缺乏此类下界的24个基准实例建立首个已知的下界。
• 证明多团提取策略相较于逐个移除团的团分解方法在 MSCP 下界计算中的优越性。

提出的方法

• EXCLIQUE 算法在每一步迭代中识别并移除最大数量的两两互不相交、大小尽可能大的团。
• 在每次迭代中，算法使用最大团检测算法（例如 ATS）确定当前图中最大的团大小，然后尽可能多地提取该大小的互不相交团。
• 该过程持续进行，直到图中无剩余顶点，从而形成原图的团分解。
• 计算所得分解的色和，作为原图 MSCP 的下界。
• 该方法与以往仅逐个提取团的方法形成对比，后者可能错失同时提取多个大而互不相交团的机会。
• 该方法在62个 DIMACS 和 COLOR2 基准图上进行了评估，结果与现有下界及 OBOCLIQUE 方法进行了比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 一种在每轮迭代中同时提取多个大而互不相交团的团分解策略，是否能为 MSCP 提供比逐个提取更紧的下界？
• RQ2 该多团提取方法在多大程度上可改进标准 MSCP 基准实例的当前最优下界？
• RQ3 所提出的方法能否首次证明此前无此类证明的实例的最优性？
• RQ4 EXCLIQUE 的性能与使用先进着色启发式算法的互补图着色方法相比如何？
• RQ5 每次迭代中多次调用团检测算法带来的计算成本增加，是否值得换取下界质量的提升？

主要发现

• EXCLIQUE 将38个已有报告下界的基准实例中的14个的最佳已知下界进行了改进。
• 该方法首次证明了此前无此类证明的4个实例的最优性。
• 对于另外24个实例，EXCLIQUE 首次在文献中报告了下界。
• 平均而言，EXCLIQUE 的下界显著高于 OBOCLIQUE 方法，尤其体现在提取了更多大团，如表6中 DSJC1000.5 的结果所示。
• 尽管计算时间更长，EXCLIQUE 在解质量上全面优于 OBOCLIQUE，其在全部12个测试实例上的平均下界均超过 OBOCLIQUE。
• 通过直接图分析的团分解方法优于互补图着色方法，即使使用强大的着色算法（如 ATS），也表明直接提取团具有优势。