[论文解读] Improved Lower Bounds for Testing Triangle-freeness in Boolean Functions via Fast Matrix Multiplication

Hu Fu, Robert Kleinberg|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 17被引用 9

一句话总结

本文利用源自Coppersmith-Winograd矩阵乘法构造的唯一可解谜题（USPs），首次建立了在F₂^k上布尔函数三角形自由性的单边测试器的显著改进的下界Ω((1/ε)^6.619)。作者从大型USPs构造出PMF向量族，证明任何单边测试器都必须进行超多项式数量的查询，从而推进了代数性质测试中查询复杂度的理解。

ABSTRACT

Understanding the query complexity for testing linear-invariant properties has been a central open problem in the study of algebraic property testing. Triangle-freeness in Boolean functions is a simple property whose testing complexity is unknown. Three Boolean functions $f_1$, $f_2$ and $f_3: \mathbb{F}_2^k o \{0, 1\}$ are said to be triangle free if there is no $x, y \in \mathbb{F}_2^k$ such that $f_1(x) = f_2(y) = f_3(x + y) = 1$. This property is known to be strongly testable (Green 2005), but the number of queries needed is upper-bounded only by a tower of twos whose height is polynomial in $1 / \epsislon$, where $\epsislon$ is the distance between the tested function triple and triangle-freeness, i.e., the minimum fraction of function values that need to be modified to make the triple triangle free. A lower bound of $(1 / ε)^{2.423}$ for any one-sided tester was given by Bhattacharyya and Xie (2010). In this work we improve this bound to $(1 / ε)^{6.619}$. Interestingly, we prove this by way of a combinatorial construction called \emph{uniquely solvable puzzles} that was at the heart of Coppersmith and Winograd's renowned matrix multiplication algorithm.

研究动机与目标

• 为布尔函数中三角形自由性的查询复杂度的已知上下界之间的差距提供闭合。
• 在Bhattacharyya与Xie（2010年）建立的先前单边测试器Ω((1/ε)^2.423)下界基础上实现改进。
• 利用快速矩阵乘法中的组合结构——特别是唯一可解谜题（USPs）——来构造三角形自由性测试的困难实例。
• 证明单边测试器在三角形自由性上的查询复杂度在1/ε上为超多项式，表明多项式查询复杂度对于该性质而言极不可能。

提出的方法

• 从{1,2,3}^k中的唯一可解谜题（USP）构造一个向量的PMF（成对匹配族），其中每个谜题碎片对应F₂^k中的一个向量。
• 为USP的每个元素u_i定义三个二进制向量a_i、b_i、c_i：a_i编码u_i,j=1的位置，b_i编码u_i,j=2的位置，c_i编码u_i,j≠3的位置。
• 利用USP的性质，确保对于任意非恒等排列π₁、π₂、π₃，存在某个位置j和索引i，使得在F₂^k中a_π₁(i) + b_π₂(i) ≠ c_π₃(i)。
• 证明所得到的向量族满足PMF条件：对于任意不同的排列，两个向量之和不等于第三个，从而确保该三元组远离三角形自由。
• 通过将USP的大小与距离ε关联，利用最大USP的渐近大小Θ((3/2^{2/3} - o(1))^k)，推导出查询复杂度的下界。
• 应用先前工作的定理2，表明此类PMF族意味着单边测试器的下界为Ω((1/ε)^6.619)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在F₂^k上的布尔函数中，单边测试器对三角形自由性的查询复杂度的最佳可能下界是什么？
• RQ2 能否利用快速矩阵乘法中的组合结构（如唯一可解谜题）来构造性质测试的困难实例？
• RQ3 能否在先前的Ω((1/ε)^2.423)单边三角形自由性测试器下界基础上实现改进？
• RQ4 大规模PMF族的存在是否意味着单边测试器对三角形自由性的查询复杂度为超多项式？

主要发现

• 本文为布尔函数中单边测试器的三角形自由性建立了Ω((1/ε)^6.619)的新下界，显著优于先前的Ω((1/ε)^2.423)下界。
• 该构造依赖于唯一可解谜题（USPs），其大小被证明为Θ((3/2^{2/3} - o(1))^k)，为下界提供了强有力的组合基础。
• 从USP显式构造出大小为Θ((3/2^{2/3} - o(1))^k)的PMF族，该族用于生成与三角形自由性ε-远离但难以被单边测试器检测到的函数三元组。
• 该结果表明，任何单边测试器对三角形自由性的查询复杂度在1/ε上为超多项式，表明该性质的多项式查询复杂度极不可能。
• 该方法揭示了快速矩阵乘法算法与代数性质测试中查询复杂度下界之间的一种新颖联系。