[论文解读] Improved Network Decompositions using Small Messages with Applications on MIS, Neighborhood Covers, and Beyond

Mohsen Ghaffari, Julian Portmann|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 9

一句话总结

本文提出了一种在 CONGEST 模型中使用小消息的确定性分布式算法，用于构建网络分解，实现了更优的轮数复杂度，并使得最大独立集（MIS）、聚类和邻域覆盖等关键问题的随机化与确定性算法更加高效。关键贡献在于一种新颖的递归聚类方法，结合元节点抽象，减少了对大消息假设的依赖，从而在高概率下实现亚多项式轮数复杂度。

ABSTRACT

Network decompositions, as introduced by Awerbuch, Luby, Goldberg, and Plotkin [FOCS'89], are one of the key algorithmic tools in distributed graph algorithms. We present an improved deterministic distributed algorithm for constructing network decompositions of power graphs using small messages, which improves upon the algorithm of Ghaffari and Kuhn [DISC'18]. In addition, we provide a randomized distributed network decomposition algorithm, based on our deterministic algorithm, with failure probability exponentially small in the input size that works with small messages as well. Compared to the previous algorithm of Elkin and Neiman [PODC'16], our algorithm achieves a better success probability at the expense of its round complexity, while giving a network decomposition of the same quality. As a consequence of the randomized algorithm for network decomposition, we get a faster randomized algorithm for computing a Maximal Independent Set, improving on a result of Ghaffari [SODA'19]. Other implications of our improved deterministic network decomposition algorithm are: a faster deterministic distributed algorithms for constructing spanners and approximations of distributed set cover, improving results of Ghaffari, and Kuhn [DISC'18] and Deurer, Kuhn, and Maus [PODC'19]; and faster a deterministic distributed algorithm for constructing neighborhood covers, resolving an open question of Elkin [SODA'04].

研究动机与目标

• 开发一种在 CONGEST 模型中仅使用小消息（每轮 O(log n) 位）的确定性分布式网络分解算法。
• 在保持相同分解质量的前提下，改进现有确定性网络分解算法的轮数复杂度。
• 使已知的随机化与确定性分布式算法在最大独立集（MIS）、聚类构造和邻域覆盖等基本问题上更加高效。
• 解决在小消息下确定性稀疏邻域覆盖构造的开放问题。

提出的方法

• 引入一种基于元节点表示节点聚类的递归聚类技术，以在每一层减少问题规模。
• 采用分层分解结构，根据规则集和局部聚类规则将元节点分组为超聚类。
• 采用随机执行策略，每个聚类并行运行多次，使用一位消息检查成功条件。
• 利用汇聚传播和本地验证来检测成功运行，并协调网络中各处的聚类形成。
• 利用网络分解在不同颜色类中并行处理组件，确保相同颜色的聚类之间互不相邻。
• 将分解与现有 MIS 算法（如 Ghaffari [Gha16]）以流水线方式结合，跨颜色类实现高概率成功。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在 CONGEST 模型中，使用小消息并相比先前工作实现更优轮数复杂度，构造出确定性网络分解？
• RQ2 我们能否仅使用小消息，实现失败概率指数级小的随机化网络分解？
• RQ3 改进后的网络分解能否加速已知的分布式算法在 MIS、聚类和支配集近似问题上的性能？
• RQ4 我们能否解决在 CONGEST 模型中使用小消息时，确定性稀疏邻域覆盖构造的开放问题？
• RQ5 递归元节点抽象是否能提升分布式图算法的可扩展性并降低轮数复杂度？

主要发现

• 本文提出一种确定性网络分解算法，其轮数复杂度为 2^O(√(log log n))，用于 (O(√(log log n)), 2^O(√(log log n))) 分解，优于先前工作。
• 其随机变体在相同轮数复杂度下实现了 1 - 1/poly(n) 的成功概率，优于 Elkin 和 Neiman [PODC’16] 的成功概率。
• 获得了轮数复杂度为 O(log Δ · √(log log n)) + 2^O(√(log log n)) 的更快随机化 MIS 算法，优于 Ghaffari [SODA’19] 的结果。
• 首次提出了在 CONGEST 模型中稀疏邻域覆盖构造的确定性算法，解决了 Elkin [SODA’04] 提出的开放问题。
• 实现了改进的确定性聚类构造与支配集近似算法，其性能匹配或优于 Ghaffari 和 Kuhn [DISC’18] 以及 Deurer 等人 [PODC’19] 的先前结果。
• 该方法支持在颜色类之间高效并行处理，每个聚类的 MIS 计算可独立且并行执行，确保正确性与高成功概率。