[论文解读] Improved Online Load Balancing with Known Makespan

Martin Böhm, Matej Lieskovský+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Scheduling and Optimization Algorithms被引用 2

一句话总结

本文提出了一种新颖的在线算法，用于已知makespan的在线负载平衡问题，打破了长期存在的3/2竞争比瓶颈。通过采用复杂的基于权重的分析方法，并对项目类型实施动态阈值，该算法在m足够大时实现了139/93 < 1.495的竞争比，显著优于以往无法突破3/2的成果，原因在于失去了关键的打包性质。

ABSTRACT

We break the barrier of $3/2$ for the problem of online load balancing with known makespan, also known as bin stretching. In this problem, $m$ identical machines and the optimal makespan are given. The load of a machine is the total size of all the jobs assigned to it and the makespan is the maximum load of all the machines. Jobs arrive online and the goal is to assign each job to a machine while staying within a small factor (the competitive ratio) of the optimal makespan. We present an algorithm that maintains a competitive ratio of $139/93&lt;1.495$ for sufficiently large values of $m$, improving the previous bound of $3/2$. The value 3/2 represents a natural bound for this problem: as long as the online bins are of size at least $3/2$ of the offline bin, all items that fit at least two times in an offline bin have two nice properties. They fit three times in an online bin and a single such item can be packed together with an item of any size in an online bin. These properties are now both lost, which means that putting even one job on a wrong machine can leave some job unassigned at the end. It also makes it harder to determine good thresholds for the item types. This was one of the main technical issues in getting below $3/2$. The analysis consists of an intricate mixture of size and weight arguments.

研究动机与目标

• 为了解决在线负载平衡中已知makespan的3/2竞争比瓶颈这一长期悬而未决的问题。
• 设计一种算法，在失去先前实现3/2竞争比的两个关键打包性质的情况下，仍能保持低于3/2的竞争比。
• 处理当拉伸因子低于3/2时出现的新项目类型，这需要仔细的阈值管理和箱体利用率控制。
• 通过复杂尺寸和权重论证的严格分析，证明竞争比可低于3/2。
• 证明3/2的瓶颈可通过先进算法技术和精细化分析得以突破。

提出的方法

• 该算法采用多阶段策略，延迟填充箱子，并在后期阶段保持部分箱子为空，以提升灵活性。
• 引入基于权重的分析方法，以追踪项目组合性质，并确保机器间负载分布均衡。
• 根据大小和打包约束，动态地将项目分类为不同类型，并随输入进展调整阈值。
• 使用线性规划约束来建模最坏情况下的箱子负载场景，并在各种配置下验证可行性。
• 分析区分不同项目类型（如quarter++、large+等），并建模其在部分填充箱子中的打包行为。
• 证明在执行过程中空箱子永远不会耗尽，通过求解约束线性规划来界定箱子使用和负载水平。

实验结果

研究问题

• RQ1 在线负载平衡中已知makespan的问题能否突破3/2的竞争比瓶颈？
• RQ2 当拉伸因子低于3/2时，特别是关于打包性质方面，会引发哪些新挑战？
• RQ3 如何结合基于权重和基于尺寸的论证，以分析复杂配置下的箱子利用率和负载分布？
• RQ4 对于大的m，可实现的最小竞争比是多少，它如何依赖于输入参数？
• RQ5 能否设计一种稳定算法，即使在对抗性项目序列下也不会耗尽空箱子？

主要发现

• 该算法在m ≥ 60,000时实现了139/93 ≈ 1.4946 < 1.495的竞争比，突破了3/2的瓶颈。
• 当ε = 1/62时，算法在m ≥ 3,300下仍有效，表明该结果对中等大小的m也成立。
• 该算法在整个阶段过程中始终保持充足的空箱子，避免了需要最终阶段6，确保所有项目均被成功打包。
• 分析证明，在假设空箱子已耗尽的前提下，关键阶段的所有线性规划公式均无可行解，从而保证了箱子的可用性。
• 在低于3/2时，失去两个关键打包性质（可容纳三倍数量和与任意大小兼容）导致必须采用更复杂的阈值设定和分析框架。
• 该结果表明3/2的瓶颈并非根本性的，可通过先进算法设计和精细化分析技术被成功突破。