[论文解读] Improved product structure for graphs on surfaces

Marc Distel, Robert Hickingbotham+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2021

Advanced Graph Theory Research被引用 4

一句话总结

该论文通过将平面图分量的树宽界从4降低到3，改进了嵌入在曲面上的图的乘积结构定理，同时保持其包含于路径与完全图的强积中。关键结果表明，每个欧拉亏格为 $ g $ 的图都包含于 $ H \boxtimes P \boxtimes K_{\max\{2g,3\}} $，其中 $ H $ 是树宽为3的平面图，显著收紧了曲面上图的结构表征。

ABSTRACT

Dujmović, Joret, Micek, Morin, Ueckerdt and Wood [J. ACM 2020] proved that for every graph $G$ with Euler genus $g$ there is a graph $H$ with treewidth at most 4 and a path $P$ such that $G\subseteq H \boxtimes P \boxtimes K_{\max\{2g,3\}}$. We improve this result by replacing "4" by "3" and with $H$ planar. We in fact prove a more general result in terms of so-called framed graphs. This implies that every $(g,d)$-map graph is contained in $ H \boxtimes P\boxtimes K_\ell$, for some planar graph $H$ with treewidth $3$, where $\ell=\max\{2g\lfloor \frac{d}{2} floor,d+3\lfloor\frac{d}{2} floor-3\}$. It also implies that every $(g,1)$-planar graph (that is, graphs that can be drawn in a surface of Euler genus $g$ with at most one crossing per edge) is contained in $H\boxtimes P\boxtimes K_{\max\{4g,7\}}$, for some planar graph $H$ with treewidth $3$.

研究动机与目标

• 通过乘积分解方法，细化可嵌入曲面的图的结构表征。
• 将乘积结构定理中平面分量的树宽界从4降低到3。
• 将结果推广至具有有界面度的曲面上的框架图和地图图。
• 在曲面嵌入图的乘积结构定理背景下，建立树宽的最优界。
• 为通过强图积理解曲面上图的全局结构，提供统一的框架。

提出的方法

• 引入 $(g,d)$-框架多重图的概念，其中在曲面嵌入的多重图的有界圈长面之间添加边。
• 证明每个 $(g,d)$-框架多重图都包含于 $ H \boxtimes P \boxtimes K_\ell $，其中 $ H $ 是树宽为3的平面图，且 $ \ell = \max\{2g\lfloor d/2 \rfloor, d + 3\lfloor d/2 \rfloor - 3\} $。
• 利用边极大嵌入和面圈分析，构造一个嵌入在欧拉亏格为 $ g $ 的曲面上的基多重图 $ G_0 $，使得原图是 $ G_0^{(d)} $ 的子图。
• 对所得框架图应用乘积结构定理，利用基图的有界面大小和平面性，控制 $ H $ 的树宽。
• 通过引用 Dujmović 等人（2020b）的已知下界，证明树宽界3是最优的。
• 利用对偶性和面圈重构，将地图图和1-平面图嵌入为框架图的子图，从而可应用主定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将曲面上图的乘积结构定理中的树宽界从4降低到3？
• RQ2 是否可以将原定理中的尖点图 $ H $ 替换为树宽为3的平面图？
• RQ3 对于所有 $(g,d)$-框架多重图，使得其嵌入于 $ H \boxtimes P \boxtimes K_\ell $ 且 $ H $ 为平面图且树宽为3，$ \ell $ 的最优值是多少？
• RQ4 地图图和1-平面图在曲面上如何与框架图关联，且能否被嵌入此类乘积结构中？
• RQ5 在曲面嵌入图的乘积结构定理中，$ H $ 的树宽界3是否最优？

主要发现

• 该论文确立了每个欧拉亏格为 $ g $ 的图都包含于 $ H \boxtimes P \boxtimes K_{\max\{2g,3\}} $，其中 $ H $ 是树宽为3的平面图，相较于先前的树宽4界有显著改进。
• 该结果推广至 $(g,d)$-框架多重图，其中 $ \ell = \max\{2g\lfloor d/2 \rfloor, d + 3\lfloor d/2 \rfloor - 3\} $，表明此类图可嵌入于相同的乘积结构中，且 $ H $ 的树宽界保持不变。
• 每个 $(g,1)$-平面图都包含于 $ H \boxtimes P \boxtimes K_{\max\{4g,7\}} $，其中 $ H $ 是某个树宽为3的平面图，提供了紧致的结构分解。
• 通过已知下界证明，$ H $ 的树宽界3是最优的：对任意 $ \ell \geq 0 $，存在一个平面图，其嵌入于 $ H \boxtimes P \boxtimes K_\ell $ 所需的 $ H $ 的树宽至少为3。
• 证明了欧拉亏格为 $ g $、最大面度为 $ d $ 的曲面上地图图是 $ (g,d) $-框架多重图的子图，进而可嵌入于乘积结构中，扩展了结果的适用范围。
• 该构造利用边极大嵌入和面圈分析，确保基多重图 $ G_0 $ 的所有面均由圈界定，从而可利用框架图理论将原图嵌入于乘积结构中。