[论文解读] Improved Pseudorandom Generators from Pseudorandom Multi-Switching Lemmas.

Rocco A. Servedio, Li-Yang Tan|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Cryptography and Data Security被引用 2

一句话总结

本文提出针对两个基本随机化类别的最优伪随机生成器（PRGs）：$\text{AC}^0$ 电路和稀疏 $\bbF_2$ 多项式，方法是利用一种新颖的伪随机多切换引理。PRGs 的种子长度与完全随机情况下的最佳已知界完全一致，这意味着进一步改进将需要重大的电路下界突破。

ABSTRACT

We give the best known pseudorandom generators for two touchstone classes in unconditional derandomization: an $\varepsilon$-PRG for the class of size-$M$ depth-$d$ $\mathsf{AC}^0$ circuits with seed length $\log(M)^{d+O(1)}\cdot \log(1/\varepsilon)$, and an $\varepsilon$-PRG for the class of $S$-sparse $\mathbb{F}_2$ polynomials with seed length $2^{O(\sqrt{\log S})}\cdot \log(1/\varepsilon)$. These results bring the state of the art for unconditional derandomization of these classes into sharp alignment with the state of the art for computational hardness for all parameter settings: improving on the seed lengths of either PRG would require breakthrough progress on longstanding and notorious circuit lower bounds. The key enabling ingredient in our approach is a new \emph{pseudorandom multi-switching lemma}. We derandomize recently-developed \emph{multi}-switching lemmas, which are powerful generalizations of H{\aa}stad's switching lemma that deal with \emph{families} of depth-two circuits. Our pseudorandom multi-switching lemma---a randomness-efficient algorithm for sampling restrictions that simultaneously simplify all circuits in a family---achieves the parameters obtained by the (full randomness) multi-switching lemmas of Impagliazzo, Matthews, and Paturi [IMP12] and H{\aa}stad [H{\aa}s14]. This optimality of our derandomization translates into the optimality (given current circuit lower bounds) of our PRGs for $\mathsf{AC}^0$ and sparse $\mathbb{F}_2$ polynomials.

研究动机与目标

• 弥合当前无条件随机化与 $\text{AC}^0$ 电路及稀疏 $\bbF_2$ 多项式计算困难性之间的差距。
• 开发一种随机性高效的多切换引理随机化方法，该引理将 H{\r{a}}stad 的切换引理推广至深度为二的电路族。
• 实现基于当前电路下界假设的最优种子长度界，避免依赖未证明的假设。
• 建立：若能改进所构造 PRGs 的种子长度，则需在长期存在的电路下界问题上取得突破性进展。

提出的方法

• 引入一种新型伪随机多切换引理，可高效采样限制条件，同时简化某一族中所有电路。
• 使用随机性高效的算法对 Impagliazzo、Matthews 和 Paturi [IMP12] 以及 H{\r{a}}stad [H{\r{a}}s14] 的多切换引理进行随机化。
• 将随机化后的多切换引理作为核心组件，构建 $\text{AC}^0$ 电路和稀疏 $\bbF_2$ 多项式的 PRGs。
• 获得 $M$-大小、深度为 $d$ 的 $\text{AC}^0$ 电路的种子长度 $\text{poly}(\text{log } M)^{d+O(1)} \text{ poly}(\text{log } 1/\rho)$，以及 $S$-稀疏 $\bbF_2$ 多项式的种子长度 $2^{O(\text{log}^{1/2} S)} \text{ poly}(\text{log } 1/\rho)$。
• 确保 PRG 的参数与原始完全随机多切换引理的参数一致，从而在当前复杂性理论假设下保证最优性。
• 证明 PRG 种子长度的最优性：若能改进这些长度，则意味着在长期存在的电路下界问题上取得新突破。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否构造出种子长度与完全随机情况下最佳已知界一致的 $\text{AC}^0$ 电路和稀疏 $\bbF_2$ 多项式的伪随机生成器？
• RQ2 是否可能对深度为二的电路族的多切换引理——即 H{\r{a}}stad 引理的推广——进行随机化，同时保持其渐近参数不变？
• RQ3 在不证明新电路下界的情况下，伪随机生成器的性能能在多大程度上得到提升？
• RQ4 多切换引理的随机化能否导致对基本电路类别的最优 PRGs？
• RQ5 PRG 的种子长度与证明这些类别电路下界难度之间存在何种关系？

主要发现

• 本文构造了一个针对大小为 $M$、深度为 $d$ 的 $\text{AC}^0$ 电路的 $\rho$-PRG，其种子长度为 $\text{log}(M)^{d+O(1)} \times \text{log}(1/\rho)$，与完全随机情况下的最佳已知界完全一致。
• 本文构造了一个针对 $S$-稀疏 $\bbF_2$ 多项式的 $\rho$-PRG，其种子长度为 $2^{O(\text{log}^{1/2} S)} \times \text{log}(1/\rho)$，在当前复杂性理论假设下实现了最优参数。
• 伪随机多切换引理实现了与 Impagliazzo、Matthews 和 Paturi [IMP12] 以及 H{\r{a}}stad [H{\r{a}}s14] 原始完全随机多切换引理相同的渐近参数。
• PRG 种子长度的最优性得到确立：若能改进这些长度，则意味着在长期存在的电路下界问题上取得突破性进展。
• 多切换引理的随机化过程具有高效的随机性，并可支持构建在当前电路复杂性背景下最优的 PRGs。
• 结果使无条件随机化领域的最先进水平与这两类电路的计算困难性领域的最先进水平对齐，从而填补了长期存在的差距。